Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Encontre o polinômio de Taylor da função
em torno de
até 0 termo de quinta ordem. Use essa expansão para calcular uma aproximação para
. Qual é o erro da aproximação?
Encontre o polinômio de Taylor da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio de Taylor da função
em torno de
até o termo de quinta ordem. Depois, vamos usar esse polinômio para estimar o valor de
e descobrir qual é o erro dessa aproximação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como ele funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar funções suaves (como o logaritmo) usando polinômios. A ideia é que, perto de um ponto específico (neste caso,
), a função pode ser representada por um polinômio que tem a mesma inclinação, curvatura e assim por diante, até a ordem que desejamos.
A fórmula geral do polinômio de Taylor de uma função
em torno de
até a n-ésima ordem é:
Aqui,
representa a k-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Como queremos o polinômio em torno de
(também chamado de série de Maclaurin), vamos calcular as derivadas de
até a quinta ordem e avaliá-las em
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Quinta derivada:
Passo 4
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando as derivadas que calculamos. Substituindo na fórmula:
Sabendo que
, substituímos os valores:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora vamos usar esse polinômio para aproximar
. Primeiro, notamos que
, então
.
Substituindo
em
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 6
Para encontrar o erro da aproximação, usamos o termo seguinte da série de Taylor. O erro
para o polinômio de Taylor de ordem
é dado por:
Onde
está entre 0 e
. Neste caso,
, então:
A sexta derivada de
é:
Então,
Resposta
Aproximação de
usando o polinômio de Taylor de quinta ordem é aproximadamente 0,09531 e o erro da aproximação é de, no máximo, 0,0000001667.
Exercícios relacionados
Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Encontre a área da região entre as funções e
no intervalo
.
Encontre a área da região entre as funções
Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Determine a área da região entre as funções e
.
Determine a área da região entre as funções
Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Verifique se o polinômio de Taylor de quarta ordem de em torno de
aproxima bem 0 valor de
. Compare a aproximação com 0 valor real e discuta 0 erro.
Verifique se o polinômio de Taylor de quarta ordem de
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma: