Em um torneio amistoso internacional de vôlei, os times dos países a seguir serão divididos em 4 grupos, cada um com 4 times para a primeira fase dessa competição.
Sobre o total de maneiras de se distribuir os times nessa primeira etapa, é correto afirmar que:
a) Existem mais de 50000 possibilidades.
b) Existem menos de 30000 possibilidades
c) O total de possibilidades está entre 40000 e 50000
d) Existem menos de 40000 possibilidades
e) O total de possibilidades está entre 30000 e 40000

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um probleminha de combinatória sobre como distribuir 16 times de vôlei em 4 grupos, cada um com 4 times. Vamos precisar usar conceitos de arranjos e combinações para descobrir de quantas maneiras diferentes isso pode ser feito.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos dividindo 16 times em 4 grupos iguais. Para calcular isso, usamos uma fórmula de combinação que considera que a ordem dos grupos não importa. A fórmula geral para dividir n!(m!)^k times k! itens em grupos de igual tamanho é:
onde é o número de itens em cada grupo.

Passo 3

Aplicando os valores do nosso problema: 16!(4!)^4 times 4! times, 16! = 20.922.789.888.000 grupos, e 4! = 24 times por grupo. Então, a fórmula fica:
(4!)^4 = 24^4 = 331.776
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Calculamos 4! = 24 :
331.776 times 24 = 7.962.624
  1. Calculamos 20.922.789.888.0007.962.624 approx 2.628.320 :
  1. Elevamos à quarta potência:
  1. Calculamos também para dividir:
  1. Agora, multiplicamos por :
  1. Finalmente, dividimos por esse resultado:

Resposta

a) Existem mais de 50000 possibilidades.

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