Um número q é escolhido ao acaso no intervalo
e a seguir, provas independentes de Bernoulli são realizadas, com probabilidade de sucesso igual a q. Se
é o número de insucessos observados até a ocorrência do primeiro sucesso, calcule a probabilidade de:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um número
escolhido de forma aleatória no intervalo (0,1). Depois, fazemos testes de Bernoulli independentes, ou seja, cada teste tem só duas opções: sucesso com probabilidade
ou insucesso com probabilidade
. Queremos saber a probabilidade de que o número de insucessos
antes do primeiro sucesso seja menor que 5. Vamos usar conceitos de estatística sobre distribuições geométrica e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o primeiro sucesso ocorre no teste 1, 2, 3 ou 4. Matematicamente, isso é:
Passo 3
Sabemos que para uma distribuição geométrica com parâmetro
, a probabilidade de ter exatamente
insucessos antes do primeiro sucesso é:
Então, substituindo
de 0 a 4:
Passo 4
Agora, como
é escolhido de forma aleatória no intervalo (0,1), precisamos considerar a média dessa probabilidade sobre todos os possíveis valores de
. Isso significa que vamos integrar
em relação a
de 0 a 1:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Resposta
A probabilidade de que o número de insucessos
antes do primeiro sucesso seja menor que 5 é
ou aproximadamente 83,33%.