Um número q é escolhido ao acaso no intervalo (0,1) e a seguir, provas independentes de Bernoulli são realizadas, com probabilidade de sucesso igual a q. Se X é o número de insucessos observados até a ocorrência do primeiro sucesso, calcule a probabilidade de:
b) (X<5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número escolhido de forma aleatória no intervalo (0,1). Depois, fazemos testes de Bernoulli independentes, ou seja, cada teste tem só duas opções: sucesso com probabilidade ou insucesso com probabilidade . Queremos saber a probabilidade de que o número de insucessos antes do primeiro sucesso seja menor que 5. Vamos usar conceitos de estatística sobre distribuições geométrica e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) . Isso quer dizer que o primeiro sucesso ocorre no teste 1, 2, 3 ou 4. Matematicamente, isso é:

Passo 3

Sabemos que para uma distribuição geométrica com parâmetro P(X = k) = (1 - q)^k cdot q , a probabilidade de ter exatamente P(X < 5) &= q + (1 - q)q + (1 - q)^2 q + (1 - q)^3 q + (1 - q)^4 q &= q [1 + (1 - q) + (1 - q)^2 + (1 - q)^3 + (1 - q)^4] insucessos antes do primeiro sucesso é:
Então, substituindo de 0 a 4:

Passo 4

Agora, como P(X < 5) = integral0^1 q [1 + (1 - q) + (1 - q)^2 + (1 - q)^3 + (1 - q)^4] dq é escolhido de forma aleatória no intervalo (0,1), precisamos considerar a média dessa probabilidade sobre todos os possíveis valores de . Isso significa que vamos integrar em relação a de 0 a 1:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
1 + (1 - q) + (1 - q)^2 + (1 - q)^3 + (1 - q)^4 &= 1 - (1 - q)^5q (usando a fórmula da soma de uma PG) ó
Então, a integral fica:
P(X < 5) = integral0^1 q cdot 1 - (1 - q)^5q dq = integral0^1 [1 - (1 - q)^5] dq

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 [1 - (1 - q)^5] dq &= integral0^1 1 , dq - integral0^1 (1 - q)^5 , dq &= [q]0^1 - [ -(1 - q)^66 ]0^1 &= (1 - 0) - ( -06 + 16 ) &= 1 - (0 + 16) &= 1 - 16 &= 56

Resposta

A probabilidade de que o número de insucessos antes do primeiro sucesso seja menor que 5 é ou aproximadamente 83,33%.

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