Um número q é escolhido ao acaso no intervalo e a seguir, provas independentes de Bernoulli são realizadas, com probabilidade de sucesso igual a q. Se é o número de insucessos observados até a ocorrência do primeiro sucesso, calcule a probabilidade de:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número escolhido de forma aleatória no intervalo (0,1). Depois, fazemos testes de Bernoulli independentes, ou seja, cada teste tem só duas opções: sucesso com probabilidade ou insucesso com probabilidade . Queremos saber a probabilidade de que o número de insucessos antes do primeiro sucesso seja menor que 5. Vamos usar conceitos de estatística sobre distribuições geométrica e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que o primeiro sucesso ocorre no teste 1, 2, 3 ou 4. Matematicamente, isso é:

Passo 3

Sabemos que para uma distribuição geométrica com parâmetro , a probabilidade de ter exatamente insucessos antes do primeiro sucesso é:
Então, substituindo de 0 a 4:

Passo 4

Agora, como é escolhido de forma aleatória no intervalo (0,1), precisamos considerar a média dessa probabilidade sobre todos os possíveis valores de . Isso significa que vamos integrar em relação a de 0 a 1:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
ó
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:

Resposta

A probabilidade de que o número de insucessos antes do primeiro sucesso seja menor que 5 é ou aproximadamente 83,33%.

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d) Existem menos de 40000 possibilidades
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a)
b)
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