Um torneio de xadrez terá alunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos; outra, 180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é
a) 12
b) 23
c) 46
d) 69
a) 12
b) 23
c) 46
d) 69
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve dividir alunos de três escolas diferentes em grupos. Cada grupo precisa ter a mesma quantidade de alunos de cada escola. As escolas têm 120, 180 e 252 alunos, respectivamente. A matéria que entra aqui é sobre Divisores Comuns, especialmente o Máximo Divisor Comum (MDC). Vamos precisar encontrar o maior número que divide todos os três números de alunos sem deixar resto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de dois ou mais números é o maior número que consegue dividir todos eles exatamente, ou seja, sem deixar resto. Para encontrar o MDC de três números, podemos encontrar o MDC de dois deles primeiro e depois usar esse resultado para encontrar o MDC com o terceiro número.
Passo 3
Vamos começar encontrando o MDC de 120 e 180. Uma forma de fazer isso é decompondo esses números em fatores primos:
- 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
- 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
Agora, identificamos os fatores comuns e multiplicamos eles:
MDC(120, 180) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
Passo 4
Agora que temos o MDC de 120 e 180, que é 60, vamos encontrar o MDC desse resultado com o terceiro número, 252.
Primeiro, decompomos 252 em fatores primos:
- 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
Agora, comparamos com o MDC anterior (60):
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5
Os fatores comuns são 2 × 2 × 3. Então:
MDC(60, 252) = 2 × 2 × 3 = 12
Passo 5
Então, o maior número de grupos que podemos formar, onde cada grupo tem a mesma quantidade de alunos de cada escola, é o MDC que encontramos, que é 12.
Resposta
A resposta correta é 12.