Um torque de 50 kNm é aplicado em um eixo cilíndrico vazado (tubular). Sabendo que o diâmetro externo do eixo mede 100 mm e o interno mede 50 mm , qual é o valor de tensão máxima de cisalhamento desenvolvida no eixo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo cilíndrico vazado (ou tubular) com um torque de 50 kNm aplicado. As medidas do diâmetro externo são 100 mm e o interno são 50 mm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tensão máxima de cisalhamento que se desenvolve nesse eixo. Vamos precisar usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre torque e tensão de cisalhamento em eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é torque e tensão de cisalhamento. Torque é uma força que faz um objeto girar em torno de um eixo. A tensão de cisalhamento é a força interna que resiste a essa rotação. Para calcular a tensão máxima de cisalhamento em um eixo circular, usamos a fórmula:
taumáx = T cdot rJ á
Onde:
  • á é a tensão máxima de cisalhamento,
  • é o torque aplicado,
  • é o raio externo do eixo,
  • é o momento polar de inércia da seção transversal do eixo.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das partes da fórmula. Primeiro, precisamos do raio externo r = D2 = 100, mm2 = 50, mm . Sabemos que o diâmetro externo é 100 mm, então:
J = pi32 ( D^4 - d^4 )
Agora, vamos calcular o momento polar de inércia J = pi32 ( (100, mm)^4 - (50, mm)^4 ) para um eixo circular vazado. A fórmula para é:
Onde:
  • é o diâmetro externo,
  • é o diâmetro interno.
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos 100^4 = 100,000,000, mm^4 e 50^4 = 6,250,000, mm^4 :
100^4 - 50^4 = 100,000,000 - 6,250,000 = 93,750,000, mm^4
J = pi32 times 93,750,000, mm^4 approx 9,204,850, mm^4
Agora, subtraímos:
Então, substituindo na fórmula de :

Passo 5

Agora, vamos calcular a tensão máxima de cisalhamento taumáx = T cdot rJ á usando a fórmula inicial:
50,000, Ncdotm = 50,000, times 1,000 = 50,000,000, Ncdotmm á
Sabemos que:
  • taumáx = 50,000,000, Ncdotmm times 50, mm9,204,850, mm^4 approx 2,500,000,0009,204,850 approx 271.5, N/mm^2 (convertendo para N·m),
  • taumáx approx 271.5, MPa ,
  • .
Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Vamos converter para N·mm:
Agora, substituímos na fórmula:
á
Como , então:
á

Resposta

A tensão máxima de cisalhamento desenvolvida no eixo é aproximadamente 271,5 MPa.

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