Um torque de 50 kNm é aplicado em um eixo cilíndrico vazado (tubular). Sabendo que o diâmetro externo do eixo mede 100 mm e o interno mede 50 mm , qual é o valor de tensão máxima de cisalhamento desenvolvida no eixo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo cilíndrico vazado (ou tubular) com um torque de 50 kNm aplicado. As medidas do diâmetro externo são 100 mm e o interno são 50 mm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tensão máxima de cisalhamento que se desenvolve nesse eixo. Vamos precisar usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre torque e tensão de cisalhamento em eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é torque e tensão de cisalhamento. Torque é uma força que faz um objeto girar em torno de um eixo. A tensão de cisalhamento é a força interna que resiste a essa rotação. Para calcular a tensão máxima de cisalhamento em um eixo circular, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a tensão máxima de cisalhamento, -
é o torque aplicado, -
é o raio externo do eixo, -
é o momento polar de inércia da seção transversal do eixo.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das partes da fórmula. Primeiro, precisamos do raio externo
. Sabemos que o diâmetro externo é 100 mm, então:
Agora, vamos calcular o momento polar de inércia
para um eixo circular vazado. A fórmula para
é:
Onde:
-
é o diâmetro externo, -
é o diâmetro interno.
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, subtraímos:
Então, substituindo na fórmula de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a tensão máxima de cisalhamento
usando a fórmula inicial:
Sabemos que:
-
(convertendo para N·m), -
, -
.
Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Vamos converter
para N·mm:
Agora, substituímos na fórmula:
Como
, então:
Resposta
A tensão máxima de cisalhamento desenvolvida no eixo é aproximadamente 271,5 MPa.