Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: f(t)=-1, se -1; 1 , se 0; e 0 , nos demais casos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformada de Fourier da função f(t) = -1, & se -1 < t < 0 1, & se 0 < t < 1 0, & nos demais casos definida da seguinte forma:
Então, estamos lidando com a Transformada de Fourier, que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Fourier e integrar a função multiplicada por ao longo de todo o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula da transformada de Fourier:
F(omega) = integral-infty^infty f(t) cdot e^-jomega t , dt
Mas, olhando para a definição de F(omega) = integral-1^0 (-1) cdot e^-jomega t , dt + integral0^1 1 cdot e^-jomega t , dt , vemos que ela é diferente de zero apenas entre e . Então, podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
integral-1^0 (-1) cdot e^-jomega t , dt = -integral-1^0 e^-jomega t , dt
Integrando:
-[ e^-jomega t-jomega ]-1^0 = -( e^0 - e^jomega-jomega ) = 1 - e^jomegajomega

Passo 4

Segunda Integral:
integral0^1 e^-jomega t , dt = [ e^-jomega t-jomega ]0^1 = e^-jomega - 1-jomega = 1 - e^-jomegajomega

Passo 5

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
F(omega) = 1 - e^jomegajomega + 1 - e^-jomegajomega
Juntando os termos:
F(omega) = 2 - e^jomega - e^-jomegajomega
Usando a identidade de Euler F(omega) = 2 - 2cos(omega)jomega = 2(1 - cos(omega))jomega , simplificamos:
F(omega) = 4sin^2(omega2)jomega
Podemos ainda reescrever como :

Resposta

A transformada de Fourier da função F(omega) = 4sin^2(omega2)jomega é:

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