Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: , se ; 1 , se ; e 0 , nos demais casos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformada de Fourier da função definida da seguinte forma:
Então, estamos lidando com a Transformada de Fourier, que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Fourier e integrar a função multiplicada por ao longo de todo o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula da transformada de Fourier:
Mas, olhando para a definição de , vemos que ela é diferente de zero apenas entre e . Então, podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Integrando:

Passo 4

Segunda Integral:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
Juntando os termos:
Usando a identidade de Euler , simplificamos:
Podemos ainda reescrever como :

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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