Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: , se ; 1 , se ; e 0 , nos demais casos .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformada de Fourier da função definida da seguinte forma:
Então, estamos lidando com a Transformada de Fourier, que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Fourier e integrar a função multiplicada por ao longo de todo o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula da transformada de Fourier:
F(omega) = integral-infty^infty f(t) cdot e^-jomega t , dt
Mas, olhando para a definição de F(omega) = integral-1^0 (-1) cdot e^-jomega t , dt + integral0^1 1 cdot e^-jomega t , dt , vemos que ela é diferente de zero apenas entre e . Então, podemos simplificar a integral para:
Passo 3
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
integral-1^0 (-1) cdot e^-jomega t , dt = -integral-1^0 e^-jomega t , dt