A transformada de Laplace inversa de 1s+1 e 1s+2 são bem conhecidas, basta observar qualquer tabela que lista as transformadas mais comuns. Assim, a transformada inversa, isto é, a expressão no domínio do tempo fica inteiramente conhecida.
L^-12 s+8(s+1)(s+2)=6 e^-t-4 e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace da função . Estamos lidando com transformadas de Laplace, que nos ajudam a passar do domínio da frequência para o domínio do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando a técnica de frações parciais. Isso vai nos ajudar a quebrar a expressão em partes mais simples que sabemos transformar de volta para o tempo.

Passo 3

Assumimos que podemos escrever 2s + 8(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2 como uma soma de frações simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 2s + 8 = A(s + 2) + B(s + 1) para eliminar as frações:

Passo 5

Agora, vamos distribuir os termos no lado direito:
2s + 8 = A s + 2A + B s + B
Agrupando os termos similares:
2s + 8 = (A + B)s + (2A + B)

Passo 6

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação, temos:
  • Para os termos com A + B = 2 :
    2A + B = 8
  • Para os termos constantes:

Passo 7

Resolvemos esse sistema de equações para encontrar (2A + B) - (A + B) = 8 - 2 A = 6 e 6 + B = 2 B = -4 .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora que encontramos 2s + 8(s + 1)(s + 2) = 6s + 1 - 4s + 2 e , substituímos de volta nas frações parciais:

Passo 9

Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
Então,
L^-16s + 1 = 6 e^-t
L^-1-4s + 2 = -4 e^-2 t

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
L^-12 s+8(s+1)(s+2) = 6 e^-t - 4 e^-2 t

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