A transformada de Laplace inversa de
e
são bem conhecidas, basta observar qualquer tabela que lista as transformadas mais comuns. Assim, a transformada inversa, isto é, a expressão no domínio do tempo fica inteiramente conhecida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace da função
. Estamos lidando com transformadas de Laplace, que nos ajudam a passar do domínio da frequência para o domínio do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando a técnica de frações parciais. Isso vai nos ajudar a quebrar a expressão em partes mais simples que sabemos transformar de volta para o tempo.
Passo 3
Assumimos que podemos escrever
como uma soma de frações simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, vamos distribuir os termos no lado direito:
Agrupando os termos similares:
Passo 6
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação, temos:
-
Para os termos com
: -
Para os termos constantes:
Passo 7
Resolvemos esse sistema de equações para encontrar
e
.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 8
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta nas frações parciais:
Passo 9
Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
Então,
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: