Exercício 1: Considere a seguinte transformada de Laplace inversa:
L^-1W s+T(s+1)(s+2)
onde W=2 e T=8, dados pelo RU, assim, a equação acima pode ser reescrita do seguinte modo:
L^-12 s+8(s+1)(s+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da expressão . Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente da parte que lida com a inversa, que nos ajuda a voltar do domínio de para o tempo . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que simplifica expressões racionais para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração 2s + 8(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2 em termos de frações parciais. Isso significa que queremos encontrar números e tais que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de 2s + 8 = A(s + 2) + B(s + 1) e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações:

Passo 4

Expandindo o lado direito da equação:
2s + 8 = A s + 2A + B s + B
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
2s + 8 = (A + B)s + (2A + B)

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de A + B = 2 2A + B = 8 , os coeficientes dos termos iguais devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, da primeira equação: 2(2 - B) + B = 8 4 - 2B + B = 8 4 - B = 8 -B = 4 B = -4 .
Substituindo na segunda equação:
A + (-4) = 2 A = 6
Agora, substituindo na primeira equação:

Passo 7

Com os valores de 2s + 8(s + 1)(s + 2) = 6s + 1 + -4s + 2 e encontrados, podemos reescrever a fração original:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-at
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-16s + 1 = 6 e^-t
L^-1-4s + 2 = -4 e^-2t

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa é:
L^-12s + 8(s + 1)(s + 2) = 6 e^-t - 4 e^-2t

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