Exercício 1: Considere a seguinte transformada de Laplace inversa:
onde
e
, dados pelo RU, assim, a equação acima pode ser reescrita do seguinte modo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da expressão
. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente da parte que lida com a inversa, que nos ajuda a voltar do domínio de
para o tempo
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que simplifica expressões racionais para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
em termos de frações parciais. Isso significa que queremos encontrar números
e
tais que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador
para eliminar as frações:
Passo 4
Expandindo o lado direito da equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
, os coeficientes dos termos iguais devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, da primeira equação:
.
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace inversa é: