Um trem composto de uma locomotiva de comprimento L e de 19 vagões, todos também de comprimento L, está se deslocando, com aceleração constante, em um trecho da ferrovia. Um estudante, parado à margem da estrada e munido de equipamento adequado, mediu a velocidade do trem em dois instantes: Vi=15m/s quando passou por ele a extremidade dianteira do trem e, 20 segundos mais tarde, Vf=25m/s, quando ele passou a extremidade traseira. Determine em metros, o comprimento L de cada vagão. Despreze o espaço entre os vagões.
Passo 1
Vamos resolver um problema de movimento uniformemente acelerado aplicado a um trem. O enunciado nos diz que uma locomotiva de comprimento $ L $ está puxando 19 vagões, cada um também com comprimento $ L $. O trem está acelerando de forma constante. Um estudante mediu a velocidade do trem em dois momentos diferentes:
- Quando a extremidade dianteira do trem passou por ele, a velocidade era $ V_i = 15 , m/s $.
- 20 segundos depois, quando a extremidade traseira passou, a velocidade era $ V_f = 25 , m/s $.
Precisamos determinar o comprimento $ L $ de cada vagão. Para resolver isso, vamos utilizar as fórmulas do movimento uniformemente acelerado e relacionar as velocidades, o tempo e o comprimento do trem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando a extremidade dianteira do trem passa pelo estudante, o trem está já em movimento com velocidade inicial $ V_i $. Depois de 20 segundos, a extremidade traseira do trem passa pelo estudante com uma velocidade final $ V_f $. Durante esses 20 segundos, a parte traseira do trem percorre a distância equivalente ao comprimento total do trem mais algum deslocamento devido à aceleração.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento total do trem. Como a locomotiva e cada um dos 19 vagões têm comprimento $ L $, o comprimento total do trem $ S $ é:
Passo 4
O tempo que leva para a extremidade traseira do trem passar pelo estudante é de 20 segundos. Durante esse tempo, o trem está acelerando de $ V_i $ para $ V_f $. Podemos usar a fórmula da velocidade em função do tempo para movimento uniformemente acelerado:
Onde:
- $ V_f = 25 , m/s $
- $ V_i = 15 , m/s $
- $ t = 20 , s $
- $ a $ é a aceleração que queremos encontrar
Passo 5
Vamos isolar a aceleração $ a $ na equação:
Então, a aceleração do trem é $ 0,5 , m/s^2 $.
Passo 6
Agora, precisamos relacionar o deslocamento durante os 20 segundos com o comprimento do trem. A distância que a extremidade traseira do trem percorre em 20 segundos é igual ao comprimento total do trem mais o deslocamento adicional devido à aceleração.
A fórmula do deslocamento no movimento uniformemente acelerado é:
Onde:
- $ S $ é o deslocamento
- $ V_i = 15 , m/s $
- $ a = 0,5 , m/s^2 $
- $ t = 20 , s $
Passo 7
Vamos substituir os valores na fórmula:
Portanto, a distância total percorrida pela extremidade traseira do trem em 20 segundos é de 400 metros.
Passo 8
Sabemos que essa distância $ S $ é igual ao comprimento total do trem $ 20L $ mais o deslocamento adicional devido à aceleração. Porém, como já consideramos o deslocamento na fórmula de $ S $, podemos igualar $ S $ ao comprimento total do trem:
Passo 9
Agora, isolamos $ L $ para encontrar o comprimento de cada vagão:
Resposta
Cada vagão tem um comprimento de $ 20 , metros $.