Considerando as correções relativísticas para a luz, determine com que velocidade um motorista teria que passar por um sinal vermelho para que o sinal parecesse verde. Tome 620 nm como o comprimento de onda da luz vermelha e 540 como o comprimento de onda da luz verde.
A) 0,7 c
B) 0,9 c
C) 0,15 c
D) 0,13 c
E) 0,11 c

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve correções relativísticas na luz. A questão pede para determinar com que velocidade um motorista precisa passar por um sinal vermelho para que a luz pareça verde. Para isso, vamos usar conceitos de Doppler Relativístico, que envolve o deslocamento do comprimento de onda da luz quando há movimento relativo entre a fonte e o observador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os comprimentos de onda envolvidos:
  • Comprimento de onda da luz vermelha ( lambdavermelha): 620 nm
  • Comprimento de onda da luz verde ( lambdaverde): 540 nm
O motorista está se movendo em direção ao sinal vermelho. Quando ele se aproxima da fonte de luz, o comprimento de onda da luz que ele observa diminui, ou seja, ocorre um deslocamento para o azul. Queremos que a luz vermelha pareça verde, então precisamos calcular a velocidade necessária para que esse deslocamento aconteça.

Passo 3

Para relacionar a velocidade do motorista com o deslocamento do comprimento de onda, usamos a fórmula do Efeito Doppler Relativístico:
lambda' = lambda raiz1 - vc1 + vc
Onde:
  • lambda' é o comprimento de onda observado (540 nm)
  • lambda é o comprimento de onda original (620 nm)
  • v é a velocidade do motorista
  • c é a velocidade da luz

Passo 4

Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
540 = 620 raiz1 - vc1 + vc
Primeiro, dividimos ambos os lados por 620 para simplificar:
540620 = raiz1 - vc1 + vc
2731 = raiz1 - vc1 + vc

Passo 5

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(2731)^2 = 1 - vc1 + vc
Calculando o quadrado:
729961 = 1 - vc1 + vc

Passo 6

Vamos resolver para vc. Multiplicamos ambos os lados por (1 + vc):
729 (1 + vc) = 961 (1 - vc)
Distribuímos os termos:
729 + 729 vc = 961 - 961 vc

Passo 7

Agora, agrupamos os termos com vc de um lado:
729 vc + 961 vc = 961 - 729
(729 + 961) vc = 232
1690 vc = 232

Passo 8

Finalmente, isolamos vc:
vc = 2321690 approx 0,1373
Isso significa que:
v approx 0,1373 , c

Resposta

A velocidade que o motorista precisa ter é aproximadamente 0,13 c, ou seja, a opção D) 0,13 c.

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