Considerando as correções relativísticas para a luz, determine com que velocidade um motorista teria que passar por um sinal vermelho para que o sinal parecesse verde. Tome 620 nm como o comprimento de onda da luz vermelha e 540 como o comprimento de onda da luz verde.
A) 0,7 c
B) 0,9 c
C) 0,15 c
D) 0,13 c
E) 0,11 c
A) 0,7 c
B) 0,9 c
C) 0,15 c
D) 0,13 c
E) 0,11 c
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve correções relativísticas na luz. A questão pede para determinar com que velocidade um motorista precisa passar por um sinal vermelho para que a luz pareça verde. Para isso, vamos usar conceitos de Doppler Relativístico, que envolve o deslocamento do comprimento de onda da luz quando há movimento relativo entre a fonte e o observador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os comprimentos de onda envolvidos:
- Comprimento de onda da luz vermelha (
): 620 nm - Comprimento de onda da luz verde (
): 540 nm
O motorista está se movendo em direção ao sinal vermelho. Quando ele se aproxima da fonte de luz, o comprimento de onda da luz que ele observa diminui, ou seja, ocorre um deslocamento para o azul. Queremos que a luz vermelha pareça verde, então precisamos calcular a velocidade necessária para que esse deslocamento aconteça.
Passo 3
Para relacionar a velocidade do motorista com o deslocamento do comprimento de onda, usamos a fórmula do Efeito Doppler Relativístico:
Onde:
-
é o comprimento de onda observado (540 nm) -
é o comprimento de onda original (620 nm) -
é a velocidade do motorista -
é a velocidade da luz
Passo 4
Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 620 para simplificar:
Passo 5
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando o quadrado:
Passo 6
Vamos resolver para
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuímos os termos:
Passo 7
Agora, agrupamos os termos com
de um lado:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Isso significa que:
Resposta
A velocidade que o motorista precisa ter é aproximadamente 0,13 c, ou seja, a opção D) 0,13 c.