Um trem de comprimento 100m atravessa um túnel reta de comprimento 200m com movimento uniformemente variado. Quando o trem começa a entrar no túnel, sua velocidade escalar é de 10m/s e quando acaba de sair do túnel sua velocidade escalar elé de 20m/s. Qual o intervalo de tempo decorrido do início ao fim da travessia?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um trem com comprimento de 100 metros que atravessa um túnel reto de 200 metros. O movimento do trem é uniformemente variado, ou seja, ele tem uma aceleração constante. Quando o trem começa a entrar no túnel, sua velocidade é de 10 m/s, e quando ele termina de sair do túnel, sua velocidade é de 20 m/s. Precisamos descobrir quanto tempo leva para o trem atravessar completamente o túnel, desde o início até o fim da travessia.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente variado da cinemática, que nos permitem relacionar deslocamento, velocidade inicial, velocidade final, aceleração e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Comprimento do trem, $ L = 100 $ metros
  • Comprimento do túnel, $ D = 200 $ metros
  • Velocidade inicial, $ v_0 = 10 $ m/s
  • Velocidade final, $ v_f = 20 $ m/s
  • Deslocamento total, $ S = L + D = 100 + 200 = 300 $ metros
Queremos encontrar o tempo total $ t $ que o trem leva para atravessar o túnel completamente.

Passo 3

Vamos usar as duas equações principais do movimento uniformemente variado:
  1. $ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $
  2. $ v_f = v_0 + a t $
Onde:
  • $ S $ é o deslocamento total
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial
  • $ v_f $ é a velocidade final
  • $ a $ é a aceleração
  • $ t $ é o tempo
Primeiro, da segunda equação, podemos isolar a aceleração $ a $:
S = v0 t + 12 a t^2
Agora, substituímos $ a $ na primeira equação:
vf = v0 + a t
Simplificando:
S
v0
vf
a
Agora, resolvemos para $ t $:
t

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na equação:
t = 2 times 30010 + 20
t = 60030
t = 20 segundos

Resposta

O tempo decorrido do início ao fim da travessia é de 20 segundos.

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