Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 40 %, 50 % e 10 % do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3 %, 5 % e 2 %. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade condicional. A gente sabe que há três máquinas na fábrica: a máquina A produz 40% das peças, a B produz 50% e a C produz 10%. Além disso, as taxas de peças defeituosas são 3% para A, 5% para B e 2% para C. A pergunta é: se pegarmos uma peça defeituosa aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina B?

Passo 2

Primeiro, vamos entender probabilidade condicional. Queremos saber a probabilidade de um evento B dado que outro evento D já aconteceu, ou seja, P(B|D). Aqui, B é a peça ter vindo da máquina B e D é a peça ser defeituosa.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter condições de probabilidades. A fórmula do teorema é:
P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D)
Onde:
  • P(B|D) é a probabilidade de a peça ser da máquina B dado que é defeituosa.
  • P(D|B) é a probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio da máquina B.
  • P(B) é a probabilidade de uma peça vir da máquina B.
  • P(D) é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. P(D|B): Já sabemos que a taxa de defeitos da máquina B é 5%, ou seja:
    P(D|B) = 0,05
  2. P(B): A máquina B produz 50% das peças:
    P(B) = 0,50
  3. P(D): Essa é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Para calcular, consideramos todas as máquinas:
    P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)
    Substituindo:
    P(D) = 0,03 cdot 0,40 + 0,05 cdot 0,50 + 0,02 cdot 0,10
    P(D) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
P(B|D) = 0,05 cdot 0,500,039 = 0,0250,039 approx 0,641

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é aproximadamente 64,1%.

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