Três máquinas
e
produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade condicional. A gente sabe que há três máquinas na fábrica: a máquina
produz 40% das peças, a
produz 50% e a
produz 10%. Além disso, as taxas de peças defeituosas são 3% para
, 5% para
e 2% para
. A pergunta é: se pegarmos uma peça defeituosa aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina
?
Passo 2
Primeiro, vamos entender probabilidade condicional. Queremos saber a probabilidade de um evento
dado que outro evento
já aconteceu, ou seja,
. Aqui,
é a peça ter vindo da máquina
e
é a peça ser defeituosa.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter condições de probabilidades. A fórmula do teorema é:
Onde:
-
é a probabilidade de a peça ser da máquina dado que é defeituosa. -
é a probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio da máquina . -
é a probabilidade de uma peça vir da máquina . -
é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-
: Já sabemos que a taxa de defeitos da máquina é 5%, ou seja: -
: A máquina produz 50% das peças: -
: Essa é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Para calcular, consideramos todas as máquinas: Substituindo:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina
é aproximadamente 64,1%.