Três máquinas
e
produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade condicional. A gente sabe que há três máquinas na fábrica: a máquina
produz 40% das peças, a
produz 50% e a
produz 10%. Além disso, as taxas de peças defeituosas são 3% para
, 5% para
e 2% para
. A pergunta é: se pegarmos uma peça defeituosa aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina
?
Passo 2
Primeiro, vamos entender probabilidade condicional. Queremos saber a probabilidade de um evento
dado que outro evento
já aconteceu, ou seja,
. Aqui,
é a peça ter vindo da máquina
e
é a peça ser defeituosa.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter condições de probabilidades. A fórmula do teorema é:
Onde:
-
é a probabilidade de a peça ser da máquina dado que é defeituosa. -
é a probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio da máquina . -
é a probabilidade de uma peça vir da máquina . -
é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-
: Já sabemos que a taxa de defeitos da máquina é 5%, ou seja: -
: A máquina produz 50% das peças: -
: Essa é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Para calcular, consideramos todas as máquinas: Substituindo:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina
é aproximadamente 64,1%.
Exercícios relacionados
(Bussab e Morettin, 2010) Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto duma certa região da cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, onde foram registrados o número de casas por quarteirão. Abaixo o diagrama ramo e folhas desses dados, cada observação têm no máximo dois dígitos.
0 | 223 |
---|---|
1 | 034556688 |
2 | 012234556799 |
3 | 026 |
4 | 245568 |
5 | 289 |
6 | 115668 |
7 | 58 |
8 | 09 |
9 | 027 |
(a) Encontre as cinco medidas de posição.
(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Segue abaixo os tipos sanguíneos de quarenta voluntários que doaram para um banco de sangue.
O | O | A | B | A | O | A | A |
---|---|---|---|---|---|---|---|
A | O | B | O | B | O | O | A |
O | O | A | A | A | A | AB | A |
B | A | A | O | O | A | O | O |
A | A | A | O | A | O | O | AB |
© Qual a porcentagem de pessoas com o tipo sanguíneo A ou AB nessa amostra?
O editor de resenhas para determinado periódico científico decide se a resenha para qualquer livro em particular deve ser curta (
páginas), média (
páginas) ou longa (5-6 páginas). Dados de resenhas recentes indicam que
delas são curtas,
são médias e
são longas. As resenhas são feitas no Word ou no Latex. Setenta por cento das resenhas curtas,
das resenhas médias e
das resenhas longas são feitas no Latex. Suponha que uma resenha recente seja selecionada aleatoriamente.
(a) Qual é a probabilidade de a resenha selecionada ter sido apresentada no formato Latex?
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(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Segue abaixo os tipos sanguíneos de quarenta voluntários que doaram para um banco de sangue.
O | O | A | B | A | O | A | A |
---|---|---|---|---|---|---|---|
A | O | B | O | B | O | O | A |
O | O | A | A | A | A | AB | A |
B | A | A | O | O | A | O | O |
A | A | A | O | A | O | O | AB |
(b) Faça a tabela de frequência dessa variável. Indique a moda.