Três máquinas e produzem respectivamente e do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são e . Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade condicional. A gente sabe que há três máquinas na fábrica: a máquina produz 40% das peças, a produz 50% e a produz 10%. Além disso, as taxas de peças defeituosas são 3% para , 5% para e 2% para . A pergunta é: se pegarmos uma peça defeituosa aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina ?

Passo 2

Primeiro, vamos entender probabilidade condicional. Queremos saber a probabilidade de um evento dado que outro evento já aconteceu, ou seja, . Aqui, é a peça ter vindo da máquina e é a peça ser defeituosa.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter condições de probabilidades. A fórmula do teorema é:
Onde:
  • é a probabilidade de a peça ser da máquina dado que é defeituosa.
  • é a probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio da máquina .
  • é a probabilidade de uma peça vir da máquina .
  • é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. : Já sabemos que a taxa de defeitos da máquina é 5%, ou seja:
  2. : A máquina produz 50% das peças:
  3. : Essa é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Para calcular, consideramos todas as máquinas:
    Substituindo:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina é aproximadamente 64,1%.

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(Bussab e Morettin, 2010) Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto duma certa região da cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, onde foram registrados o número de casas por quarteirão. Abaixo o diagrama ramo e folhas desses dados, cada observação têm no máximo dois dígitos.
0 223
1 034556688
2 012234556799
3 026
4 245568
5 289
6 115668
7 58
8 09
9 027
(a) Encontre as cinco medidas de posição.
(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Segue abaixo os tipos sanguíneos de quarenta voluntários que doaram para um banco de sangue.
O O A B A O A A
A O B O B O O A
O O A A A A AB A
B A A O O A O O
A A A O A O O AB
© Qual a porcentagem de pessoas com o tipo sanguíneo A ou AB nessa amostra?
O editor de resenhas para determinado periódico científico decide se a resenha para qualquer livro em particular deve ser curta ( páginas), média ( páginas) ou longa (5-6 páginas). Dados de resenhas recentes indicam que delas são curtas, são médias e são longas. As resenhas são feitas no Word ou no Latex. Setenta por cento das resenhas curtas, das resenhas médias e das resenhas longas são feitas no Latex. Suponha que uma resenha recente seja selecionada aleatoriamente.
(a) Qual é a probabilidade de a resenha selecionada ter sido apresentada no formato Latex?
(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Segue abaixo os tipos sanguíneos de quarenta voluntários que doaram para um banco de sangue.
O O A B A O A A
A O B O B O O A
O O A A A A AB A
B A A O O A O O
A A A O A O O AB
(b) Faça a tabela de frequência dessa variável. Indique a moda.