Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2,3), B(4,1) e C(6,7), determinem uma equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um triângulo com os vértices A(2,3), B(4,1) e C(6,7). O conteúdo que vamos usar aqui é geometria analítica, especificamente sobre medianas em triângulos e equações de retas. Precisamos encontrar a equação geral da reta que suporta a mediana relativa ao lado BC. Para isso, vamos precisar primeiro localizar o ponto médio de BC e depois encontrar a reta que passa por esse ponto médio e pelo vértice A.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do lado BC. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos $ B(x_1, y_1) $ e $ C(x_2, y_2) $ é:
Aplicando os valores de B(4,1) e C(6,7):
Então, o ponto médio M de BC é (5,4).
Passo 3
Agora que temos o ponto médio M(5,4), precisamos encontrar a equação da reta que passa por A(2,3) e M(5,4). Para isso, vamos usar a fórmula da inclinação (m) entre dois pontos:
Aplicando os pontos A(2,3) e M(5,4):
Então, a inclinação da reta é $ \frac{1}{3} $.
Passo 4
Com a inclinação e um ponto que a reta passa, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Usando o ponto A(2,3):
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para a forma geral. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
Distribuindo o 3:
Agora, vamos rearranjar para deixar tudo igual a zero:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar x positivo:
Resposta
A equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC é: