Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2,3), B(4,1) e C(6,7), determinem uma equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um triângulo com os vértices A(2,3), B(4,1) e C(6,7). O conteúdo que vamos usar aqui é geometria analítica, especificamente sobre medianas em triângulos e equações de retas. Precisamos encontrar a equação geral da reta que suporta a mediana relativa ao lado BC. Para isso, vamos precisar primeiro localizar o ponto médio de BC e depois encontrar a reta que passa por esse ponto médio e pelo vértice A.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do lado BC. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos $ B(x_1, y_1) $ e $ C(x_2, y_2) $ é:
B(x1, y1)
Aplicando os valores de B(4,1) e C(6,7):
C(x2, y2)
Então, o ponto médio M de BC é (5,4).

Passo 3

Agora que temos o ponto médio M(5,4), precisamos encontrar a equação da reta que passa por A(2,3) e M(5,4). Para isso, vamos usar a fórmula da inclinação (m) entre dois pontos:
m = y2 - y1x2 - x1
Aplicando os pontos A(2,3) e M(5,4):
m = 4 - 35 - 2 = 13
Então, a inclinação da reta é $ \frac{1}{3} $.

Passo 4

Com a inclinação e um ponto que a reta passa, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Usando o ponto A(2,3):
y - 3 = 13(x - 2)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para a forma geral. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
3(y - 3) = x - 2
Distribuindo o 3:
3y - 9 = x - 2
Agora, vamos rearranjar para deixar tudo igual a zero:
- x + 3y - 7 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar x positivo:
x - 3y + 7 = 0

Resposta

A equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC é:
x - 3y + 7 = 0

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