Um tubo de aço, que é usado para transportar ar aquecido, tem condutividade térmica Ka=22Btu/h.ft.°F, espessura de ½” e 10” de diâmetro externo. Esse tubo é isolado com 2 camadas de materiais que servem para diminuir a perda de calor para o ambiente: a primeira camada é de isolante de alta temperatura com uma condutividade térmica igual a Ki=0,032 Btu/h.ft.°F e com espessura de 1”, já a segunda camada é um isolante à base de magnésia com uma condutividade térmica igual a Km=0,051 Btu/h.ft.°F, também com espessura de 1”. Sabendo que a temperatura da superfície interna do tubo está a 1000°F e que a temperatura da superfície externa do segundo isolante está a 32°F, determine a taxa de transferência de calor, sabendo que o tubo tem 10 ft (pés) de comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo de aço que transporta ar aquecido e queremos descobrir quanta energia térmica está sendo perdida para o ambiente através desse tubo e seus isolamentos. Para isso, vamos usar conceitos de condutividade térmica e resistência térmica em sistemas cilíndricos. Precisamos das informações sobre as condutividades térmicas dos materiais, suas espessuras, diâmetro do tubo, temperaturas internas e externas, e o comprimento do tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas que o calor vai atravessar:
  1. Aço do tubo: Condutividade térmica $ K_a = 22 , Btu/h.ft.°F $, espessura $ \delta_a = \frac{1}{2} , polegadas $.
  2. Primeiro isolante: Condutividade térmica $ K_i = 0,032 , Btu/h.ft.°F $, espessura $ \delta_i = 1 , polegada $.
  3. Segundo isolante: Condutividade térmica $ K_m = 0,051 , Btu/h.ft.°F $, espessura $ \delta_m = 1 , polegada $.
A temperatura na superfície interna do tubo é $ T_{int} = 1000°F $ e na superfície externa do segundo isolante é $ T_{ext} = 32°F $. O comprimento do tubo é $ L = 10 , ft $.

Passo 3

Vamos converter todas as medidas para a mesma unidade. Primeiramente, as espessuras estão em polegadas e precisamos em pés para compatibilidade com o comprimento.
1 , pé = 12 , po<=gadas implies é
de
de
de

Passo 4

Agora, precisamos considerar que o tubo é circular. O diâmetro externo do tubo é 10 polegadas, então o diâmetro interno será:
Dint = Dext - 2 times de
Convertendo para pés:
Dint = 9" = 912 , ft = 0,75 , ft
O raio interno:
r0 = Dint2 = 0,752 = 0,375 , ft

Passo 5

Vamos calcular os raios externos de cada camada:
  1. Aço do tubo:
r1 = r0 + de
  1. Primeiro isolante:
r2 = r1 + de
  1. Segundo isolante:
r3 = r2 + de

Passo 6

Para condução de calor em cilindros, a taxa de transferência de calor $ Q $ é dada por:
Q
onde $ R_{total} $ é a resistência térmica total, que soma as resistências de cada camada:
Q = 2 pi L (Tint - Text)Rtotal
A resistência térmica para cada camada é:
Rtotal

Passo 7

Vamos calcular cada resistência:
  1. Resistência do aço:
Ra = ln(r1 / r0)2 pi L Ka = ln(0,4167 / 0,375)2 pi times 10 times 22
Ra approx ln(1,111)1382,3 approx 0,1051382,3 approx 7,61 times 10^-5 , °Fh/Btu
  1. Resistência do primeiro isolante:
Ri = ln(r2 / r1)2 pi L Ki = ln(0,4999 / 0,4167)2 pi times 10 times 0,032
Ri approx ln(1,2)2,0106 approx 0,1822,0106 approx 0,0905 , °Fh/Btu
  1. Resistência do segundo isolante:
Rm = ln(r3 / r2)2 pi L Km = ln(0,5833 / 0,4999)2 pi times 10 times 0,051
Rm approx ln(1,1667)3,2044 approx 0,1543,2044 approx 0,0480 , °Fh/Btu

Passo 8

Somando todas as resistências térmicas:
Rtotal = Ra + Ri + Rm = 7,61 times 10^-5 + 0,0905 + 0,0480 approx 0,1386 , °Fh/Btu

Passo 9

Agora, aplicamos na fórmula da taxa de transferência de calor:
Q = 2 pi L (Tint - Text)Rtotal
Substituindo os valores:
Q = 2 pi times 10 times (1000 - 32)0,1386 = 2 pi times 10 times 9680,1386
Q approx 60,84 times 9680,1386 approx 58.742,720,1386 approx 424.027 , Btu/h

Resposta

A taxa de transferência de calor é de aproximadamente 424.027 Btu/h.

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