Um tubo de aço, que é usado para transportar ar aquecido, tem condutividade térmica Ka=22Btu/h.ft.°F, espessura de ½” e 10” de diâmetro externo. Esse tubo é isolado com 2 camadas de materiais que servem para diminuir a perda de calor para o ambiente: a primeira camada é de isolante de alta temperatura com uma condutividade térmica igual a Ki=0,032 Btu/h.ft.°F e com espessura de 1”, já a segunda camada é um isolante à base de magnésia com uma condutividade térmica igual a Km=0,051 Btu/h.ft.°F, também com espessura de 1”. Sabendo que a temperatura da superfície interna do tubo está a 1000°F e que a temperatura da superfície externa do segundo isolante está a 32°F, determine a taxa de transferência de calor, sabendo que o tubo tem 10 ft (pés) de comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo de aço que transporta ar aquecido e queremos descobrir quanta energia térmica está sendo perdida para o ambiente através desse tubo e seus isolamentos. Para isso, vamos usar conceitos de condutividade térmica e resistência térmica em sistemas cilíndricos. Precisamos das informações sobre as condutividades térmicas dos materiais, suas espessuras, diâmetro do tubo, temperaturas internas e externas, e o comprimento do tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas que o calor vai atravessar:
- Aço do tubo: Condutividade térmica $ K_a = 22 , Btu/h.ft.°F $, espessura $ \delta_a = \frac{1}{2} , polegadas $.
- Primeiro isolante: Condutividade térmica $ K_i = 0,032 , Btu/h.ft.°F $, espessura $ \delta_i = 1 , polegada $.
- Segundo isolante: Condutividade térmica $ K_m = 0,051 , Btu/h.ft.°F $, espessura $ \delta_m = 1 , polegada $.
A temperatura na superfície interna do tubo é $ T_{int} = 1000°F $ e na superfície externa do segundo isolante é $ T_{ext} = 32°F $. O comprimento do tubo é $ L = 10 , ft $.
Passo 3
Vamos converter todas as medidas para a mesma unidade. Primeiramente, as espessuras estão em polegadas e precisamos em pés para compatibilidade com o comprimento.
Passo 4
Agora, precisamos considerar que o tubo é circular. O diâmetro externo do tubo é 10 polegadas, então o diâmetro interno será:
Convertendo para pés:
O raio interno:
Passo 5
Vamos calcular os raios externos de cada camada:
- Aço do tubo:
- Primeiro isolante:
- Segundo isolante:
Passo 6
Para condução de calor em cilindros, a taxa de transferência de calor $ Q $ é dada por:
onde $ R_{total} $ é a resistência térmica total, que soma as resistências de cada camada:
A resistência térmica para cada camada é:
Passo 7
Vamos calcular cada resistência:
- Resistência do aço:
- Resistência do primeiro isolante:
- Resistência do segundo isolante:
Passo 8
Somando todas as resistências térmicas:
Passo 9
Agora, aplicamos na fórmula da taxa de transferência de calor:
Substituindo os valores:
Resposta
A taxa de transferência de calor é de aproximadamente 424.027 Btu/h.