Um tubo de alumínio 2014-T6 com área de seção transversal de 700 mm^2 é utilizado como luva para um parafuso de aço A-36 com área de seção transversal de 400 mm^2. Quando a temperatura é T 1=15^circ C, a porca mantém o conjunto em uma posição precisa, de tal modo que a força axial no parafuso é desprezível. Se a temperatura aumentar para T 2=80^circ C, determine a tensão normal média no parafuso e na luva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem um tubo de alumínio chamado luva e um parafuso de aço. A área da seção transversal da luva é de ² e a do parafuso é de ². Inicialmente, na temperatura de , a porca segura tudo direitinho sem causar força no parafuso. Mas aí a temperatura sobe para e queremos saber qual é a tensão normal média que aparece tanto no parafuso quanto na luva. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta os materiais e usar conceitos de expansão térmica e tensão mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a temperatura muda, os materiais se expandem ou se contraem. Cada material tem um coeficiente de expansão térmica diferente, que nos diz o quanto ele se expande por grau Celsius. Para o alumínio 2014-T6, o coeficiente de expansão é aproximadamente e para o aço A-36 é .

Passo 3

A variação de temperatura é . Quando a temperatura aumenta, o alumínio tenta expandir mais que o aço devido ao seu coeficiente de expansão maior. Mas como a porca está fixa, essa diferença na expansão vai gerar tensões nos materiais para manter o conjunto no lugar.

Passo 4

Vamos considerar que o comprimento inicial do conjunto é De. A variação de comprimento livre para cada material seria:
De
Mas como o comprimento total do sistema não pode mudar, a diferença na expansão vai ser equilibrada pelas tensões desenvolvidas nos materiais.

Passo 5

As tensões varepsilonalu = sigmaaluEalu e varepsilonaco = sigmaacoEaco estão relacionadas às deformações mecânicas pelos módulos de elasticidade e , respectivamente. A relação é:
Para o alumínio, e para o aço, .

Passo 6

A condição de compatibilidade do comprimento nos dá:
De
Substituindo as variações de comprimento e as deformações:
alphaalu De
Podemos simplificar o alphaalu De e reorganizar:

Passo 7

Além disso, como a porca está fixando o sistema, a força que o alumínio exerce deve ser igual e oposta à força que o aço exerce:
sigmaalu times Aalu = -sigmaaco times Aaco
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( sigmaalu = -sigmaaco times AacoAalu = -sigmaaco times 400700 = -sigmaaco times 47 e alphaalu De) que podemos resolver.
Primeiro, da segunda equação:
(alphaalu - alphaaco) De
Substituindo na primeira equação:
sigmaaco = (alphaalu - alphaaco) De
sigmaaco = (23 times 10^-6 - 12 times 10^-6) times 651210 times 10^9 + 47 times 70 times 10^9
Resolvendo para sigmaaco = 11 times 10^-6 times 651210 times 10^9 + 4490 times 10^9 = 715 times 10^-61210 times 10^9 + 4490 times 10^9 :
1210 + 4490 = 1210 + 4490 = 71470 + 121470 = 191470
Agora, substituindo os valores:
sigmaaco = 715 times 10^-6191470 times 10^9 = 715 times 10^-6 times 1470 times 10^919 approx 55.2 times 10^6 , Pa = 55.2 , MPa
sigmaalu = -47 times 55.2 approx -31.6 , MPa
Calculando o denominador:
Então:
Então, a tensão no parafuso de aço é de aproximadamente . A tensão na luva de alumínio será:
(O sinal negativo indica compressão.)

Resposta

A tensão normal média no parafuso de aço é aproximadamente (tensão de tração) e na luva de alumínio é aproximadamente (tensão de compressão).

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