Um tubo de meia polegada num sistema de refrigeração transporta fluido frigorigénio a -10^circ C, quando ao ambiente exterior está a 25^circ C. Para evitar que o fluido aqueça por transferência de calor do exterior, vai usar-se um isolamento de espuma de polietileno, com k = 0,046 W/(m K). O coeficiente de transferência de calor exterior só tem componente convectiva, sendo h=5 W /(m^2 K), valor baixo por se tratar de convecção
natural. Calcular o raio crítico e o ganho de calor sem isolamento e com isolamento de espessuras 4 mm e 10 mm . Calcular ainda o ganho de calor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo de meia polegada em um sistema de refrigeração que transporta um fluido a -10°C, enquanto a temperatura ambiente é de 25°C. Para evitar que o fluido esquente por transferência de calor, vamos usar isolamento de espuma de polietileno com condutividade térmica $ k = 0,046 , W/(m K) $. Além disso, o coeficiente de transferência de calor por convecção no ambiente externo é $ h = 5 , W/(m^2K) $.
O que precisamos calcular:
  1. Raio crítico do isolamento.
  2. Ganho de calor sem isolamento.
  3. Ganho de calor com isolamento de espessuras de 4 mm e 10 mm.
  4. Ganho de calor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além do conceito de raio crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio interno do tubo. Sabemos que a tubulação tem meia polegada, que é aproximadamente 0,0127 metros (pois 1 polegada = 0,0254 m).
rinterno = 0,5 , po<=gadas2 = 0,25 , po<=gadas = 0,00635 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular o raio crítico. O raio crítico ($ r_c $) é o raio no qual a transferência de calor por condução através do isolamento é igual à transferência de calor por convecção na superfície externa. A fórmula para o raio crítico em torno de um cilindro é:
rc
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do isolamento.
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
Substituindo os valores:
rc = kh

Passo 4

Com o raio crítico calculado, podemos analisar se o isolamento proposto está abaixo ou acima do raio crítico.
  • Se a espessura do isolamento fizer com que o raio efetivo seja menor que $ r_c $, isso não é eficiente e o ganho de calor será maior.
  • Se for maior, então o isolamento está funcionando para reduzir o ganho de calor.
Vamos agora calcular o ganho de calor sem isolamento e com as espessuras de 4 mm e 10 mm.

Passo 5

Primeiro, sem isolamento. A transferência de calor por convecção é dada por:
Q = h cdot A cdot De
Onde:
  • $ A $ é a área superficial do tubo.
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura.
Calculando a área para um comprimento $ L $ (vamos considerar $ L = 1 , m $ para simplificar):
A
Diferença de temperatura:
De
Então,
L

Passo 6

Agora, com isolamento. A transferência de calor através do isolamento é por condução seguida por convecção. A fórmula combinada é:
Q = 2pi k L De
Onde:
  • $ r_{externo} = r_{interno} + espessura do isolamento $
Vamos calcular para as duas espessuras.
Para 4 mm (0,004 m):
rexterno = rinterno + espessura do isolamento
rexterno = 0,00635 + 0,004 = 0,01035 , m
Calculando o logaritmo natural:
Q4 , mm = 2pi cdot 0,046 cdot 1 cdot 35ln(0,010350,00635)
Então,
ln(0,010350,00635) approx ln(1,63) approx 0,489
Para 10 mm (0,010 m):
Q4 , mm = 2pi cdot 0,046 cdot 350,489 approx 10,1030,489 approx 20,67 , W
rexterno = 0,00635 + 0,010 = 0,01635 , m
Calculando o logaritmo natural:
Q10 , mm = 2pi cdot 0,046 cdot 35ln(0,016350,00635)
Então,
ln(0,016350,00635) approx ln(2,57) approx 0,945

Passo 7

Por fim, vamos calcular o ganho de calor máximo. O ganho de calor atinge seu máximo quando o isolamento está no raio crítico. Nesse ponto, a resistência à condução e à convecção se igualam, e qualquer aumento na espessura do isolamento resultará em menor ganho de calor.
Usando o raio crítico que calculamos:
rc = 0,0092 , m
Substituindo na fórmula do ganho de calor:
Qmáximo = 2pi cdot 0,046 cdot 35ln(0,00920,00635) á
Calculando o logaritmo natural:
ln(0,00920,00635) approx ln(1,45) approx 0,372
Então,
Qmáximo = 2pi cdot 0,046 cdot 350,372 approx 10,1030,372 approx 27,16 , W á

Resposta

  • Raio crítico: $ 0,0092 , m $
  • Ganho de calor sem isolamento: $ 7 , W $
  • Ganho de calor com isolamento de 4 mm: $ 20,67 , W $
  • Ganho de calor com isolamento de 10 mm: $ 10,68 , W $
  • Ganho de calor máximo: $ 27,16 , W $

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