Em uma turma de um curso de exatas, 65 % dos alunos são do sexo masculino. Sabe-se que 30 % dos alunos têm carro, enquanto que essa proporção entre as alunas se reduz para 18%. Sorteia-se ao acaso um estudante dessa turma usando o seu número de matrícula e constata-se que possui um carro. Qual é a probabilidade de que a pessoa sorteada seja do sexo feminino?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma turma onde 65% são homens e 35% são mulheres (já que 100% - 65% = 35%). Além disso, sabemos que 30% de todos os alunos têm carro, mas entre as mulheres esse percentual é menor, apenas 18%. A pergunta é: se a gente escolhe um aluno que tem carro, qual a chance dele ser mulher? Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : ser homem
  • : ser mulher
  • : ter carro
Sabemos que:
  • (probabilidade de ter carro dado que é mulher)

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de ser mulher dado que a pessoa tem carro, ou seja, P(M|C) = P(C|M) times P(M)P(C) . Para isso, vamos usar a fórmula de Bayes:

Passo 4

Já temos os valores de P(C) = P(C|H) times P(H) + P(C|M) times P(M) e 0.30 = P(C|H) times 0.65 + 0.18 times 0.35 . Precisamos calcular , a probabilidade total de um aluno ter carro. Para isso, usamos a regra da probabilidade total:
Onde é a probabilidade de um homem ter carro. Como , podemos rearranjar a equação para encontrar :

Passo 5

Vamos resolver para 0.30 = 0.65 times P(C|H) + 0.063 0.30 - 0.063 = 0.65 times P(C|H) 0.237 = 0.65 times P(C|H) P(C|H) = 0.2370.65 approx 0.3646 :

Passo 6

Agora que sabemos P(C) = 0.3646 times 0.65 + 0.18 times 0.35 P(C) approx 0.237 + 0.063 P(C) approx 0.30 , podemos calcular :
Isso confirma o valor dado na questão.

Passo 7

Finalmente, aplicando a fórmula de Bayes para encontrar P(M|C) = P(C|M) times P(M)P(C) P(M|C) = 0.18 times 0.350.30 P(M|C) = 0.0630.30 P(M|C) = 0.21 :

Resposta

A probabilidade de que a pessoa sorteada seja do sexo feminino é de 21%.

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