Ultilizando um produto misto, determinamos o volume de um paralelepípedo que tem u = (2, -6, 2) e v = (0, 4, -2) e w = (2, 2, -4). Com arestas adjacentes, o volume é.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o volume de um paralelepípedo usando o produto misto. Para isso, vamos precisar usar vetores que representam as arestas do paralelepípedo e aplicar o produto escalar e o produto vetorial. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os vetores que representam as arestas do paralelepípedo:
u = (2, -6, 2)
v = (0, 4, -2)
w = (2, 2, -4)
Esses vetores estão em três dimensões e vão nos ajudar a calcular o volume usando o produto misto.
Passo 3
O volume do paralelepípedo pode ser encontrado usando o produto misto dos três vetores u, v e w. O produto misto é definido como:
Aqui, é o produto vetorial entre v e w, e é o produto escalar entre u e o resultado do produto vetorial.
Passo 4
Vamos primeiro calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
v times w = i(4 cdot (-4) - (-2) cdot 2) - j(0 cdot (-4) - (-2) cdot 2) + k(0 cdot 2 - 4 cdot 2)
= i(-16 + 4) - j(0 + 4) + k(0 - 8)
= i(-12) - j(4) + k(-8)
= (-12, -4, -8)
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (v times w) = (2, -6, 2) cdot (-12, -4, -8)
= 2 cdot (-12) + (-6) cdot (-4) + 2 cdot (-8)
= -24 + 24 - 16
= -16
Passo 6
Finalmente, o volume V do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto: