Ultilizando um produto misto, determinamos o volume de um paralelepípedo que tem u = (2, -6, 2) e v = (0, 4, -2) e w = (2, 2, -4). Com arestas adjacentes, o volume é.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o volume de um paralelepípedo usando o produto misto. Para isso, vamos precisar usar vetores que representam as arestas do paralelepípedo e aplicar o produto escalar e o produto vetorial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os vetores que representam as arestas do paralelepípedo:
  • u = (2, -6, 2)
  • v = (0, 4, -2)
  • w = (2, 2, -4)
Esses vetores estão em três dimensões e vão nos ajudar a calcular o volume usando o produto misto.

Passo 3

O volume do paralelepípedo pode ser encontrado usando o produto misto dos três vetores u, v e w. O produto misto é definido como:
V = | u cdot (v times w) |
Aqui, v times w é o produto vetorial entre v e w, e u cdot (v times w) é o produto escalar entre u e o resultado do produto vetorial.

Passo 4

Vamos primeiro calcular o produto vetorial v times w:
v times w = i & j & k 0 & 4 & -2 2 & 2 & -4
Calculando o determinante:
v times w = i(4 cdot (-4) - (-2) cdot 2) - j(0 cdot (-4) - (-2) cdot 2) + k(0 cdot 2 - 4 cdot 2)
= i(-16 + 4) - j(0 + 4) + k(0 - 8)
= i(-12) - j(4) + k(-8)
= (-12, -4, -8)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (v times w) = (2, -6, 2) cdot (-12, -4, -8)
= 2 cdot (-12) + (-6) cdot (-4) + 2 cdot (-8)
= -24 + 24 - 16
= -16

Passo 6

Finalmente, o volume V do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
V = | -16 | = 16

Resposta

O volume do paralelepípedo é 16 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados