underbracex integralA(x)x x d A(x)d x=?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O enunciado apresenta uma expressão matemática que envolve uma integral e uma derivada, especificamente:
underbracex integralA(x)x , x d A(x)d x = ?
Matéria envolvida: Cálculo, mais precisamente integração e diferenciação.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimentos sobre derivadas de funções que envolvem produtos.
  • Regras de diferenciação, como a Regra do Produto.

Passo 2

Vamos analisar a expressão passo a passo. Primeiro, parece que temos um produto de duas partes:
  1. Primeira parte: integralA(x)^x , f(t) , dt
  2. Segunda parte:
No entanto, a notação da integral está um pouco confusa. Normalmente, uma integral tem limites de integração e uma função a ser integrada. Vamos supor que a integral seja definida de até , ou seja:
Mas como não foi especificado o que está sendo integrado, vamos simplificar e focar na parte que envolve a derivada.

Passo 3

Vamos considerar que a expressão principal que precisamos resolver é:
x cdot x d A(x)d x
Simplificando, isso se torna:
x^2 d A(x)d x
Teoria aplicada: Estamos multiplicando por , o que resulta em .

Passo 4

Agora, se considerarmos a presença da integral na expressão original, poderíamos estar lidando com uma aplicação da Regra do Produto na diferenciação. Vamos imaginar que temos uma função definida como:
Y(x) = x integralA(x)^x , f(t) , dt
Para derivar essa função, precisaríamos aplicar a Regra do Produto:
dYdx = ddx [ x ] cdot integralA(x)^x , f(t) , dt + x cdot ddx [ integralA(x)^x , f(t) , dt ]
Primeiro termo:
ddx [ x ] = 1
Segundo termo:
Para derivar a integral com limites variáveis, usamos a Fórmula de Leibniz:
ddx [ integralA(x)^x , f(t) , dt ] = f(x) cdot 1 - f(A(x)) cdot dA(x)dx
Então, substituindo de volta:
dYdx = integralA(x)^x , f(t) , dt + x [ f(x) - f(A(x)) cdot dA(x)dx ]

Resposta

A expressão simplificada é:
x^2 d A(x)d x

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