2 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Ciências e Engenharia - Câmpus de Itapeva
2a Prova de Física I - (Engenharia de Produção)
Docente: Prof. Dr. Mickel Abreu de Ponte
Data da Prova: 15/10/2024
(Escolham 4 dos 8 problemas. Toda a prova a caneta. Não esqueçam as unidades de grandeza)
Nome do Aluno(a):
  1. ( 2,5 pontos) Um mosquito do AEDES AEGYPTI sem asas, de massa m, salta de paraquedas e pousa na parte mais alta de uma esfera de metal de raio R (chamaremos de polo norte este ponto). Considere que a superfície da esfera é sem atrito, de modo que depois de um certo tempo descançando, o mosquito desliza ao longo de uma geodésica (linha formada pela interseção da esfera com um plano que passa pelo polo norte e centro da esfera) até a linha do equador da esfera e depois cai em queda livre ao solo. a) Qual é a velocidade do mosquito instantes antes de ele começar a cair em queda livre. b) Qual é a velocidade do mosquito quando ele atinge o solo? c) Qual é a energia total do mosquito no polo norte, equador e solo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um mosquito de massa que salta e pousa no ponto mais alto de uma esfera de metal com raio (chamaremos esse ponto de polo norte). A superfície da esfera é sem atrito, então o mosquito desliza até o equador e depois cai em queda livre. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre energia mecânica e conservação de energia. Precisamos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade do mosquito antes de ele começar a cair.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos chave:
  1. Polo Norte: Onde o mosquito começa, com altura máxima em relação ao solo.
  2. Equador: Onde o mosquito começa a cair em queda livre.
No polo norte, toda a energia do mosquito é energia potencial gravitacional, já que ele está parado (velocidade zero). No equador, parte dessa energia potencial se converte em energia cinética (devido ao movimento).

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da energia potencial gravitacional:
U = mgh
Onde:
  • Upolo = mgR é a energia potencial,
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.
No polo norte, a altura é igual ao raio da esfera , então:

Passo 4

No equador, o mosquito está na altura zero em relação ao solo, então a energia potencial é:
Uequador = 0
Toda a energia que o mosquito tinha no polo norte se transforma em energia cinética no equador. A energia cinética é dada por:
K = 12mv^2
Onde é a velocidade.

Passo 5

Aplicando a conservação de energia, a energia total no polo norte deve ser igual à energia total no equador:
Upolo = Kequador
Substituindo as fórmulas:
mgR = 12mv^2

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por gR = 12v^2 :
v^2 = 2gR
Agora, isolamos :

Passo 7

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v = raiz2gR :

Resposta

A velocidade do mosquito instantes antes de começar a cair em queda livre é .

Exercícios relacionados