Suponha um sistema oscilatório governado pela equação
m d^2 xd t^2+rho d xd t+k x=F0 cos (omega t)
Faça o que for solicitado abaixo, desenvolvendo todos os cálculos necessários:
Encontre as expressões da amplitude e da defasagem da solução particular da equação diferencial acima;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema oscilatório que segue a equação diferencial:
m d^2 xd t^2+rho d xd t+k x=F0 cos (omega t)
Aqui, estamos lidando com mecânica de sistemas oscilatórios forçados e amortecidos. O que a gente precisa fazer é encontrar a amplitude e a defasagem da solução particular dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a técnica de soluções particulares para forçantes harmônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação é a soma da solução geral da equação homogênea e da solução particular. Como estamos interessados na solução particular, que responde ao termo forçante xp(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) , vamos supor que essa solução também seja uma função cosseno com amplitude e defasagem desconhecidas.
Então, vamos supor:
Aqui, e são coeficientes que a gente vai determinar.

Passo 3

Agora, precisamos derivar essa solução particular para substituir na equação original. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de d xpd t = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t) :
Primeira derivada:
d^2 xpd t^2 = -A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t)
Segunda derivada:

Passo 4

Substituindo m (-A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t)) + rho (-A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)) + k (A cos(omega t) + B sin(omega t)) = F0 cos (omega t) , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos organizar os termos por funções cosseno e seno:
  • Coeficiente de - m A omega^2 + rho B omega + k A :
- m B omega^2 - rho A omega + k B
  • Coeficiente de (- m A omega^2 + rho B omega + k A) cos(omega t) + (- m B omega^2 - rho A omega + k B) sin(omega t) = F0 cos (omega t) :
Então, temos:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes das funções cosseno e seno devem ser iguais aos do lado direito da equação. Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema para encontrar - m B omega^2 - rho A omega + k B = 0 Rightarrow (- m omega^2 + k) B = rho omega A Rightarrow B = rho omega Ak - m omega^2 e .
Da segunda equação:

Passo 8

Substituindo - m A omega^2 + rho ( rho omega Ak - m omega^2 ) omega + k A = F0 Rightarrow - m A omega^2 + rho^2 omega^2 Ak - m omega^2 + k A = F0 na primeira equação:

Passo 9

Vamos resolver para - m A omega^2 (k - m omega^2) + rho^2 omega^2 A + k A (k - m omega^2) = F0 (k - m omega^2) :
Multiplicando ambos os lados por - m k A omega^2 + m^2 A omega^4 + rho^2 A omega^2 + k^2 A - k m A omega^2 = F0 k - F0 m omega^2 para eliminar o denominador:
A (k^2 - 2 m k omega^2 + m^2 omega^4 + rho^2 omega^2) = F0 (k - m omega^2)
Distribuindo:
A = F0 (k - m omega^2)k^2 - 2 m k omega^2 + m^2 omega^4 + rho^2 omega^2
Combinando termos semelhantes:
Então:

Passo 10

Agora, vamos expressar A = tildeA cos(phi) B = tildeA sin(phi) e tan(phi) = BA = rho omegak - m omega^2 em termos de amplitude e defasagem. A amplitude phi = arctan( rho omegak - m omega^2 ) e a defasagem estão relacionadas por:
Dividindo por :

Passo 11

A amplitude tildeA = raizA^2 + B^2 = F0raiz(k - m omega^2)^2 + (rho omega)^2 pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:

Resposta

A amplitude da solução particular é
tildeA = F0raiz(k - m omega^2)^2 + (rho omega)^2
e a defasagem é
phi = arctan( rho omegak - m omega^2 )

Exercícios relacionados