Suponha um sistema oscilatório governado pela equação
Faça o que for solicitado abaixo, desenvolvendo todos os cálculos necessários:
Encontre as expressões da amplitude e da defasagem da solução particular da equação diferencial acima;
Encontre as expressões da amplitude e da defasagem da solução particular da equação diferencial acima;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema oscilatório que segue a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com mecânica de sistemas oscilatórios forçados e amortecidos. O que a gente precisa fazer é encontrar a amplitude e a defasagem da solução particular dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a técnica de soluções particulares para forçantes harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação é a soma da solução geral da equação homogênea e da solução particular. Como estamos interessados na solução particular, que responde ao termo forçante
, vamos supor que essa solução também seja uma função cosseno com amplitude e defasagem desconhecidas.
Então, vamos supor:
Aqui,
e
são coeficientes que a gente vai determinar.
Passo 3
Agora, precisamos derivar essa solução particular para substituir na equação original. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos organizar os termos por funções cosseno e seno:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Então, temos:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes das funções cosseno e seno devem ser iguais aos do lado direito da equação. Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Da segunda equação:
Passo 8
Substituindo
na primeira equação:
Passo 9
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo:
Combinando termos semelhantes:
Então:
Passo 10
Agora, vamos expressar
e
em termos de amplitude e defasagem. A amplitude
e a defasagem
estão relacionadas por:
Dividindo
por
:
Passo 11
A amplitude
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Resposta
A amplitude da solução particular é
e a defasagem é