URGENTE
Um avião bombardeiro, a 300 m de altitude, voa em perseguição a um carro no solo, que viaja a uma velocidade de 90 km/h i. Em dado instante, o avião lança uma bomba com velocidade escalar igual a 180 km/h (vista por um observador parado no solo), fazendo um ângulo de -π/6 rad com o eixo x.
a) Quanto tempo a bomba leva para chegar ao chão? (Considere g = 10 m/s²)
b) Qual é o alcance horizontal da bomba?
c) A que distância horizontal do carro deve ser lançada a bomba para que acerte o alvo?​

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso exercício fala sobre um avião que está a 300 metros de altitude perseguindo um carro no chão que está viajando a 90 km/h. O avião lança uma bomba com velocidade de 180 km/h fazendo um ângulo de -π/6 radianos com o eixo x. Vamos resolver as três partes do problema usando os conceitos de cinemática para movimentos em duas dimensões. Vamos precisar converter unidades, decompor vetores de velocidade e aplicar as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as velocidades para metros por segundo (m/s), porque as unidades de distância e aceleração estão em metros e segundos.
  • Velocidade do carro: 90 km/h = 90 × (1000 m / 3600 s) = 25 m/s.
  • Velocidade da bomba: 180 km/h = 180 × (1000 m / 3600 s) = 50 m/s.

Passo 3

Agora, precisamos decompor a velocidade da bomba em componentes horizontal (x) e vertical (y). O ângulo dado é -π/6 rad, que é -30 graus, indicando que a bomba está sendo lançada para baixo em relação ao eixo x.
Usamos as funções seno e cosseno para isso:
  • Componente horizontal: $ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) $
  • Componente vertical: $ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) $
Substituindo os valores:
  • $ v_{0x} = 50 \cdot \cos(-\pi/6) = 50 \cdot (\sqrt{3}/2) \approx 43,3 , m/s $
  • $ v_{0y} = 50 \cdot \sin(-\pi/6) = 50 \cdot (-1/2) = -25 , m/s $
O sinal negativo indica que a componente vertical está direcionada para baixo.

Passo 4

Para a parte a), queremos saber quanto tempo a bomba leva para chegar ao chão. Vamos analisar o movimento vertical.
A posição vertical da bomba é dada por:
y(t) = y0 + v0y t + 12 g t^2
Onde:
  • $ y_0 = 300 , m $ (altura inicial)
  • $ v_{0y} = -25 , m/s $ (componente vertical da velocidade)
  • $ g = 10 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ y(t) = 0 $ (no chão):
y0 = 300 , m
v0y = -25 , m/s
Rearranjando a equação:
g = 10 , m/s^2
Dividindo todos os termos por 5:
t
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y(t) = 0
Como o discriminante ( 0 = 300 - 25t + 12 cdot 10 cdot t^2 ) é negativo, isso indica que fizemos um erro nos sinais. Vamos corrigir:
Usando a convenção onde para o movimento vertical, a aceleração da gravidade é negativa (pois aponta para baixo):
0 = 300 - 25t + 5t^2
5t^2 - 25t + 300 = 0
t^2 - 5t + 60 = 0
Dividindo por 5:
t = 5 pm raiz25 - 2402
Agora, aplicando Bhaskara:
25 - 240 = -215
y(t) = y0 + v0y t - 12 g t^2
Apenas a solução positiva faz sentido fisicamente:
0 = 300 - 25t - 5t^2
5t^2 + 25t - 300 = 0
t^2 + 5t - 60 = 0

Passo 5

Para a parte b), queremos encontrar o alcance horizontal da bomba. Sabemos que o movimento horizontal é uniforme, já que não há aceleração na horizontal.
A distância horizontal ($ x $) é dada por:
x
Usando $ v_{0x} \approx 43,3 , m/s $ e $ t \approx 5,64 , s $:
x = v0x cdot t
v0x approx 43,3 , m/s

Passo 6

Para a parte c), queremos saber a que distância horizontal do carro a bomba deve ser lançada para acertar o alvo. O carro está se movendo a 25 m/s, e a bomba leva aproximadamente 5,64 segundos para atingir o chão.
Precisamos calcular a distância que o carro percorre nesse tempo:
d = vcarro cdot t
d = 25 cdot 5,64
d approx 141 , metros
Então, a bomba deve ser lançada 141 metros atrás do carro para que, ao cair, a bomba esteja exatamente onde o carro estará naquele momento.

Resposta

a) O tempo que a bomba leva para chegar ao chão é de aproximadamente 5,64 segundos.
b) O alcance horizontal da bomba é de aproximadamente 244,3 metros.
c) A bomba deve ser lançada a uma distância horizontal de aproximadamente 141 metros atrás do carro para acertar o alvo.

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