Uma urna contém 2 bolas, 1 amarela e 1 vermelha. Um experimento consiste em retirar 1 bola da urna, anotar sua cor e colocá-la novamente na urna. Se fizermos esse experimento 8 vezes, qual é a probabilidade de sair 5 vezes a bola amarela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade. A situação é a seguinte: tem uma urna com 2 bolas, uma amarela e uma vermelha. A gente vai tirar uma bola, ver a cor, e colocar de volta na urna. Isso vai se repetir 8 vezes. Queremos saber qual a chance de sair a bola amarela exatamente 5 vezes nesses 8 sorteios. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente a probabilidade binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é probabilidade binomial. É usada quando temos várias tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso, “sucesso” pode ser tirar a bola amarela, e “fracasso” tirar a vermelha.
As principais coisas que precisamos saber são:
- Número de tentativas (n): aqui são 8 sorteios.
- Número de sucessos desejados (k): queremos 5 amarelas.
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: como tem 1 amarela e 1 vermelha, a chance de pegar amarela é 1/2.
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ C(n, k) $ é a combinação de n itens tomados k de cada vez.
- $ p^k $ é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos.
- $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-
Combinação $ C(8, 5) $:Isso representa o número de maneiras de escolher 5 sorteios que serão amarelos entre os 8. A fórmula é:Então,
-
Probabilidade $ p^k $:Como $ p = \frac{1}{2} $,
-
Probabilidade $ (1 - p)^{n - k} $:Também é $ \frac{1}{2} $,
Passo 5
Agora, juntando tudo na fórmula:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 8:
Resposta
A probabilidade de tirar a bola amarela exatamente 5 vezes em 8 sorteios é 7/32, ou aproximadamente 21,88%.