Uma urna contém 2 bolas, 1 amarela e 1 vermelha. Um experimento consiste em retirar 1 bola da urna, anotar sua cor e colocá-la novamente na urna. Se fizermos esse experimento 8 vezes, qual é a probabilidade de sair 5 vezes a bola amarela?​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade. A situação é a seguinte: tem uma urna com 2 bolas, uma amarela e uma vermelha. A gente vai tirar uma bola, ver a cor, e colocar de volta na urna. Isso vai se repetir 8 vezes. Queremos saber qual a chance de sair a bola amarela exatamente 5 vezes nesses 8 sorteios. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente a probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade binomial. É usada quando temos várias tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso, “sucesso” pode ser tirar a bola amarela, e “fracasso” tirar a vermelha.
As principais coisas que precisamos saber são:
  • Número de tentativas (n): aqui são 8 sorteios.
  • Número de sucessos desejados (k): queremos 5 amarelas.
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: como tem 1 amarela e 1 vermelha, a chance de pegar amarela é 1/2.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é a combinação de n itens tomados k de cada vez.
  • $ p^k $ é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos.
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Combinação $ C(8, 5) $:
    Isso representa o número de maneiras de escolher 5 sorteios que serão amarelos entre os 8. A fórmula é:
    C(8, 5)
    Então,
    C(n, k) = n!k! times (n - k)!
  2. Probabilidade $ p^k $:
    Como $ p = \frac{1}{2} $,
    C(8, 5) = 8!5! times (8 - 5)! = 40320120 times 6 = 56
  3. Probabilidade $ (1 - p)^{n - k} $:
    Também é $ \frac{1}{2} $,
    p^k

Passo 5

Agora, juntando tudo na fórmula:
P(5) = 56 times 132 times 18 = 56 times 1256 = 56256
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 8:
56256 = 732

Resposta

A probabilidade de tirar a bola amarela exatamente 5 vezes em 8 sorteios é 7/32, ou aproximadamente 21,88%.

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