Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Retira-se 3 bolas com reposição. Considere X o número de bolas brancas. Determine a pX(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urninha com 4 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 10 bolas. A gente vai retirar 3 bolas, uma de cada vez, e sempre colocar a bola de volta depois de cada retirada (isso é o que chamamos de “com reposição”). O que queremos descobrir é a probabilidade de tirar exatamente x bolas brancas nas 3 retiradas. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola branca em uma única retirada. Como tem 4 bolas brancas e 10 no total, a probabilidade é:
P(branca) = 410 = 0,4
E, consequentemente, a probabilidade de tirar uma bola preta é:
P(preta) = 610 = 0,6

Passo 3

Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente das outras. Isso significa que a probabilidade de tirar uma branca ou preta não muda nas retiradas seguintes.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de tirar exatamente x bolas brancas em 3 retiradas. Isso segue uma distribuição binomial, onde temos um número fixo de tentativas (n = 3), apenas dois resultados possíveis (branca ou preta), e a probabilidade de sucesso (tirar uma branca) é constante em cada tentativa (p = 0,4).

Passo 5

A fórmula da distribuição binomial é:
PX(x) = binomnx cdot p^x cdot (1 - p)^n - x
Onde:
- binomnx é o número de combinações de n elementos tomados x a x.
- p é a probabilidade de sucesso.
- 1 - p é a probabilidade de insucesso.

Passo 6

Aplicando os valores do nosso problema:
  • n = 3
  • p = 0,4
  • 1 - p = 0,6
Então, a fórmula fica:
PX(x) = binom3x cdot (0,4)^x cdot (0,6)^3 - x

Resposta

A função de probabilidade de $ X $ é dada por:
X
para $ x = 0, 1, 2, 3 $.

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