Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais que a face coroa. Essa moeda é lançada quatro vezes. Seja X o número de caras.
calcule pX(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que coroa. Essa moeda é lançada quatro vezes, e queremos descobrir a distribuição de probabilidade $ p_X(x) $ para o número de caras $ X $ que aparecem nesses lançamentos. Vamos usar conhecimentos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a probabilidade de sair cara em um único lançamento. Sabemos que a moeda mostra cara quatro vezes mais do que coroa. Vamos chamar a probabilidade de sair coroa de $ q $ e de cara de $ p $.
Como são quatro vezes mais caras que coroas, temos:
q
E sabemos que $ p + q = 1 $ (porque ou sai cara ou coroa).

Passo 3

Substituindo $ p = 4q $ na equação $ p + q = 1 $:
p = 4q
Agora, encontramos $ p $:
p + q = 1
Então, a probabilidade de sair cara em um lançamento é $ \frac{4}{5} $ e de coroa é $ \frac{1}{5} $.

Passo 4

Como a moeda é lançada quatro vezes e cada lançamento é independente, podemos modelar $ X $, o número de caras, como uma variável aleatória binomial com parâmetros $ n = 4 $ e $ p = \frac{4}{5} $.
A fórmula da distribuição binomial é:
X
onde $ C(n, x) = \binom{n}{x} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ x $ a $ x $.

Passo 5

Vamos calcular $ p_X(x) $ para cada valor possível de $ x $, que vai de 0 a 4.
  1. Para $ x = 0 $:
pX(x)
  1. Para $ x = 1 $:
x
  1. Para $ x = 2 $:
x = 0
  1. Para $ x = 3 $:
pX(0) = binom40 times (45)^0 times (15)^4 = 1 times 1 times 1625 = 1625
  1. Para $ x = 4 $:
x = 1

Resposta

A distribuição de probabilidade $ p_X(x) $ para o número de caras $ X $ ao lançar a moeda quatro vezes é:
pX(x)

Exercícios relacionados