Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais que a face coroa. Essa moeda é lançada quatro vezes. Seja X o número de caras.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que coroa. Essa moeda é lançada quatro vezes, e queremos descobrir a distribuição de probabilidade $ p_X(x) $ para o número de caras $ X $ que aparecem nesses lançamentos. Vamos usar conhecimentos de probabilidade binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a probabilidade de sair cara em um único lançamento. Sabemos que a moeda mostra cara quatro vezes mais do que coroa. Vamos chamar a probabilidade de sair coroa de $ q $ e de cara de $ p $.
Como são quatro vezes mais caras que coroas, temos:
E sabemos que $ p + q = 1 $ (porque ou sai cara ou coroa).
Passo 3
Substituindo $ p = 4q $ na equação $ p + q = 1 $:
Agora, encontramos $ p $:
Então, a probabilidade de sair cara em um lançamento é $ \frac{4}{5} $ e de coroa é $ \frac{1}{5} $.
Passo 4
Como a moeda é lançada quatro vezes e cada lançamento é independente, podemos modelar $ X $, o número de caras, como uma variável aleatória binomial com parâmetros $ n = 4 $ e $ p = \frac{4}{5} $.
A fórmula da distribuição binomial é:
onde $ C(n, x) = \binom{n}{x} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ x $ a $ x $.
Passo 5
Vamos calcular $ p_X(x) $ para cada valor possível de $ x $, que vai de 0 a 4.
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 1 $:
- Para $ x = 2 $:
- Para $ x = 3 $:
- Para $ x = 4 $:
Resposta
A distribuição de probabilidade $ p_X(x) $ para o número de caras $ X $ ao lançar a moeda quatro vezes é: