Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Retira-se 3 bolas sem reposição. Considere X o número de bolas brancas. Determine a pX(x).

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, totalizando 10 bolas. Vamos retirar 3 bolas sem colocar de volta na urna (sem reposição). Queremos saber a probabilidade de, dentre essas 3 bolas retiradas, ter exatamente 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas. Isso envolve conceitos de probabilidade e combinação, que são parte importante da estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa tirar bolas sem reposição. Quando retiramos uma bola e não colocamos de volta, o total de bolas na urna diminui a cada retirada. Isso afeta as probabilidades das próximas retiradas.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a distribuição hipergeométrica, que é adequada para situações onde temos sucessos e fracassos em populações finitas sem reposição. A fórmula geral para a probabilidade de exatamente $ x $ sucessos em $ n $ tentativas é:
x
Onde:
  • $ N $ é o número total de itens na urna (10 bolas).
  • $ K $ é o número de itens de sucesso (4 bolas brancas).
  • $ n $ é o número de tentativas (3 bolas retiradas).
  • $ x $ é o número de sucessos desejados (número de bolas brancas retiradas).

Passo 4

Vamos identificar os valores na nossa situação:
  • $ N = 10 $ (total de bolas)
  • $ K = 4 $ (bolas brancas)
  • $ n = 3 $ (bolas retiradas)
  • $ x $ pode ser 0, 1, 2 ou 3

Passo 5

Agora, vamos calcular cada caso:

Quando $ x = 0 $:

Não retiramos nenhuma bola branca, ou seja, todas as 3 são pretas.
x = 0

Quando $ x = 1 $:

Retiramos 1 bola branca e 2 pretas.
P(X = 0) = dbinom40 cdot dbinom63dbinom103 = 1 cdot 20120 = 20120 = 16 approx 0,1667

Quando $ x = 2 $:

Retiramos 2 bolas brancas e 1 preta.
x = 1

Quando $ x = 3 $:

Retiramos todas as 3 bolas brancas. Mas como temos apenas 4 bolas brancas, isso é possível.
P(X = 1) = dbinom41 cdot dbinom62dbinom103 = 4 cdot 15120 = 60120 = 12 = 0,5

Resposta

As probabilidades de $ X $, o número de bolas brancas retiradas, são:
X

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