Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Retira-se 3 bolas sem reposição. Considere X o número de bolas brancas. Determine a
.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, totalizando 10 bolas. Vamos retirar 3 bolas sem colocar de volta na urna (sem reposição). Queremos saber a probabilidade de, dentre essas 3 bolas retiradas, ter exatamente 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas. Isso envolve conceitos de probabilidade e combinação, que são parte importante da estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa tirar bolas sem reposição. Quando retiramos uma bola e não colocamos de volta, o total de bolas na urna diminui a cada retirada. Isso afeta as probabilidades das próximas retiradas.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a distribuição hipergeométrica, que é adequada para situações onde temos sucessos e fracassos em populações finitas sem reposição. A fórmula geral para a probabilidade de exatamente $ x $ sucessos em $ n $ tentativas é:
Onde:
- $ N $ é o número total de itens na urna (10 bolas).
- $ K $ é o número de itens de sucesso (4 bolas brancas).
- $ n $ é o número de tentativas (3 bolas retiradas).
- $ x $ é o número de sucessos desejados (número de bolas brancas retiradas).
Passo 4
Vamos identificar os valores na nossa situação:
- $ N = 10 $ (total de bolas)
- $ K = 4 $ (bolas brancas)
- $ n = 3 $ (bolas retiradas)
- $ x $ pode ser 0, 1, 2 ou 3
Passo 5
Agora, vamos calcular cada caso:
Quando $ x = 0 $:
Não retiramos nenhuma bola branca, ou seja, todas as 3 são pretas.
Quando $ x = 1 $:
Retiramos 1 bola branca e 2 pretas.
Quando $ x = 2 $:
Retiramos 2 bolas brancas e 1 preta.
Quando $ x = 3 $:
Retiramos todas as 3 bolas brancas. Mas como temos apenas 4 bolas brancas, isso é possível.
Resposta
As probabilidades de $ X $, o número de bolas brancas retiradas, são: