Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada.
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver a parte b) desse exercício. O enunciado fala sobre uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas. A gente retira 3 bolas de uma vez e ganha R$200 por cada bola branca e perde R$100 por cada preta. Agora, a gente precisa fazer o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade e como calcular a distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as possíveis quantidades de bolas brancas que podemos retirar das 3 bolas. Pode ser 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas. Cada quantidade vai corresponder a um lucro diferente:
- 0 bolas brancas: perde R$300 (porque 3 pretas × R$100)
- 1 bola branca: ganha R$200 e perde R$100 × 2 = R$0
- 2 bolas brancas: ganha R$400 e perde R$100 = R$300
- 3 bolas brancas: ganha R$600 e perde R$0 = R$600
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer. Para isso, usamos a combinação para saber de quantas maneiras podemos retirar as bolas:
- Total de combinações possíveis:
- Para 0 bolas brancas:
- Para 1 bola branca:
- Para 2 bolas brancas:
- Para 3 bolas brancas:
Passo 4
Calculando essas combinações:
Passo 5
Agora, as probabilidades:
- P(lucro = -300):
- P(lucro = 0):
- P(lucro = 300):
- P(lucro = 600):
Passo 6
A função de distribuição acumulada (CDF) acumula as probabilidades até cada valor de lucro. Vamos construir a CDF passo a passo:
- Para lucro < -300: 0
- Para -300 ≤ lucro < 0: 0,159
- Para 0 ≤ lucro < 300: 0,159 + 0,477 = 0,636
- Para 300 ≤ lucro < 600: 0,636 + 0,318 = 0,954
- Para lucro ≥ 600: 0,954 + 0,045 = 1
Passo 7
Agora, para fazer o gráfico, vamos plotar os pontos chave da CDF:
- (-300, 0,159)
- (0, 0,636)
- (300, 0,954)
- (600, 1)
Entre esses pontos, a CDF é constante, formando uma escada que sobe nos valores de lucro.
Resposta
O gráfico da função de distribuição acumulada do lucro é uma função escalonada que aumenta nos pontos -300, 0, 300 e 600, com os seguintes valores acumulados:
- Para lucro < -300: CDF = 0
- Para -300 ≤ lucro < 0: CDF = 0,159
- Para 0 ≤ lucro < 300: CDF = 0,636
- Para 300 ≤ lucro < 600: CDF = 0,954
- Para lucro ≥ 600: CDF = 1
Você pode representar isso em um gráfico com o eixo x representando o lucro e o eixo y representando a probabilidade acumulada, formando uma escada nos pontos mencionados.