Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
d) ambas sejam de cores diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma urna com 2 bolas brancas, 3 pretas e 5 vermelhas, totalizando 10 bolas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, ao retirar duas bolas sem reposição, elas serem de cores diferentes. Vamos usar conceitos básicos de combinatória e probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de maneiras possíveis de retirar 2 bolas de um total de 10. Isso é dado pela combinação de 10 bolas tomadas 2 a 2:
Então, há 45 maneiras diferentes de retirar duas bolas.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas dessas combinações resultam em bolas de cores diferentes. Para isso, vamos considerar as diferentes combinações de cores possíveis:
Bola branca e preta
Bola branca e vermelha
Bola preta e vermelha
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 4
1. Bola branca e preta:
Temos 2 bolas brancas e 3 pretas. As combinações possíveis são:
Passo 5
2. Bola branca e vermelha:
Temos 2 bolas brancas e 5 vermelhas. As combinações possíveis são:
Passo 6
3. Bola preta e vermelha:
Temos 3 bolas pretas e 5 vermelhas. As combinações possíveis são:
Passo 7
Agora, vamos somar todas as combinações que resultam em cores diferentes:
Passo 8
Para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por GCD(31, 45) que é 1, então a fração simplificada é .
Resposta
A probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam de cores diferentes é , ou aproximadamente 68,89%.