Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
d) ambas sejam de cores diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma urna com 2 bolas brancas, 3 pretas e 5 vermelhas, totalizando 10 bolas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, ao retirar duas bolas sem reposição, elas serem de cores diferentes. Vamos usar conceitos básicos de combinatória e probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras possíveis de retirar 2 bolas de um total de 10. Isso é dado pela combinação de 10 bolas tomadas 2 a 2:
Total de combinações = C10^2 = 10 times 92 times 1 = 45 çõ
Então, há 45 maneiras diferentes de retirar duas bolas.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas dessas combinações resultam em bolas de cores diferentes. Para isso, vamos considerar as diferentes combinações de cores possíveis:
  1. Bola branca e preta
  2. Bola branca e vermelha
  3. Bola preta e vermelha
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 4

1. Bola branca e preta:
Temos 2 bolas brancas e 3 pretas. As combinações possíveis são:
C2^1 times C3^1 = 2 times 3 = 6

Passo 5

2. Bola branca e vermelha:
Temos 2 bolas brancas e 5 vermelhas. As combinações possíveis são:
C2^1 times C5^1 = 2 times 5 = 10

Passo 6

3. Bola preta e vermelha:
Temos 3 bolas pretas e 5 vermelhas. As combinações possíveis são:
C3^1 times C5^1 = 3 times 5 = 15

Passo 7

Agora, vamos somar todas as combinações que resultam em cores diferentes:
6 (branca e preta) + 10 (branca e vermelha) + 15 (preta e vermelha) = 31

Passo 8

Para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
Probabilidade = 3145
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por GCD(31, 45) que é 1, então a fração simplificada é .

Resposta

A probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam de cores diferentes é , ou aproximadamente 68,89%.

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