Usando a equação de Rydberg, calcule o comprimento de onda da raia espectral do hidrogênio produzida por uma transição do quarto para o primeiro nível de energia. Faça o mesmo cálculo considerando a teoria de Bohr. Compare os valores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de onda da raia espectral do hidrogênio quando um elétron passa do quarto para o primeiro nível de energia. Vamos fazer isso de duas maneiras: usando a equação de Rydberg e a teoria de Bohr. Para isso, vamos precisar entender essas duas abordagens e usar as fórmulas corretas para cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação de Rydberg. Ela é uma maneira prática de calcular os comprimentos de onda das linhas espectrais do hidrogênio sem entrar muito nos detalhes da física quântica. A fórmula da equação de Rydberg é:
1lambda = R ( 1n1^2 - 1n2^2 )
Onde:
  • é o comprimento de onda que queremos encontrar.
  • é a constante de Rydberg, aproximadamente .
  • é o nível de energia final (no caso, 1).
  • é o nível de energia inicial (no caso, 4).

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação:
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 11^2 - 14^2 )
Calculando os termos dentro dos parênteses:
11^2 - 14^2 = 1 - 116 = 1616 - 116 = 1516
Então:
1lambda = 1,097 times 10^7 times 1516 = 1,097 times 10^7 times 0,9375 approx 1,030 times 10^7 , m^-1

Passo 4

Agora, para encontrar lambda = 11,030 times 10^7 approx 9,71 times 10^-8 , m , basta dar a inversa de lambda approx 97,1 , nm :
Convertendo para nanômetros (1 m = nm):

Passo 5

Agora vamos fazer o mesmo cálculo usando a teoria de Bohr. A teoria de Bohr também descreve os níveis de energia dos elétrons no hidrogênio e nos dá a fórmula para o comprimento de onda:
lambda = h cE2 - E1
Onde:
  • En = - RH h cn^2 é a constante de Planck ( ).
  • é a velocidade da luz ( ).
  • e são as energias dos níveis e .
A energia dos níveis segundo Bohr é dada por:
Onde é a constante de Rydberg para energia ( ).

Passo 6

Calculando as energias dos níveis 4 e 1:
E2 = E4 = - 2,179 times 10^-184^2 = - 2,179 times 10^-1816 = -1,362 times 10^-19 , J
E1 = - 2,179 times 10^-181^2 = -2,179 times 10^-18 , J
A diferença de energia é:
E2 - E1 = (-1,362 times 10^-19) - (-2,179 times 10^-18) = 2,043 times 10^-18 , J

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de onda:
lambda = 6,626 times 10^-34 times 3,00 times 10^82,043 times 10^-18 approx 1,988 times 10^-252,043 times 10^-18 approx 9,73 times 10^-8 , m
Convertendo para nanômetros:
lambda approx 97,3 , nm

Resposta

Usando a equação de Rydberg, o comprimento de onda calculado é aproximadamente 97,1 nm, e pela teoria de Bohr, obtivemos 97,3 nm. Os valores são praticamente iguais, mostrando que ambas as abordagens descrevem de forma consistente o comportamento do hidrogênio nessa transição de energia.

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