Usando a equação de Rydberg, calcule o comprimento de onda da raia espectral do hidrogênio produzida por uma transição do quarto para o primeiro nível de energia. Faça o mesmo cálculo considerando a teoria de Bohr. Compare os valores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de onda da raia espectral do hidrogênio quando um elétron passa do quarto para o primeiro nível de energia. Vamos fazer isso de duas maneiras: usando a equação de Rydberg e a teoria de Bohr. Para isso, vamos precisar entender essas duas abordagens e usar as fórmulas corretas para cada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a equação de Rydberg. Ela é uma maneira prática de calcular os comprimentos de onda das linhas espectrais do hidrogênio sem entrar muito nos detalhes da física quântica. A fórmula da equação de Rydberg é:
Onde:
-
é o comprimento de onda que queremos encontrar. -
é a constante de Rydberg, aproximadamente . -
é o nível de energia final (no caso, 1). -
é o nível de energia inicial (no caso, 4).
Passo 3
Vamos substituir os valores na equação:
Calculando os termos dentro dos parênteses:
Então:
Passo 4
Agora, para encontrar
, basta dar a inversa de
:
Convertendo para nanômetros (1 m =
nm):
Passo 5
Agora vamos fazer o mesmo cálculo usando a teoria de Bohr. A teoria de Bohr também descreve os níveis de energia dos elétrons no hidrogênio e nos dá a fórmula para o comprimento de onda:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ). -
é a velocidade da luz ( ). -
e são as energias dos níveis e .
A energia dos níveis segundo Bohr é dada por:
Onde
é a constante de Rydberg para energia (
).
Passo 6
Calculando as energias dos níveis 4 e 1:
A diferença de energia é:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de onda:
Convertendo para nanômetros:
Resposta
Usando a equação de Rydberg, o comprimento de onda calculado é aproximadamente 97,1 nm, e pela teoria de Bohr, obtivemos 97,3 nm. Os valores são praticamente iguais, mostrando que ambas as abordagens descrevem de forma consistente o comportamento do hidrogênio nessa transição de energia.
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