Usando as propriedades axiomáticas mostre que:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que se o conjunto A está dentro do conjunto B (ou seja, $ A \subset B
P(A)
P(B) $). Para isso, vamos usar as propriedades básicas da teoria das probabilidades, que são tipo as regrinhas que seguimos para trabalhar com probabilidades.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma das propriedades das probabilidades é que elas nunca são negativas. Ou seja, para qualquer evento $ E $, $ P(E) \geq 0 $. Isso já vai nos ajudar mais tarde.
Passo 3
Outra propriedade importante é a aditividade. Se temos dois eventos que não têm nada em comum (são mutuamente exclusivos), a probabilidade de qualquer um deles acontecer é a soma das probabilidades individuais. Matematicamente, se $ E $ e $ F $ não se sobrepõem, então $ P(E \cup F) = P(E) + P(F) $.
Passo 4
Agora, como $ A \subset B $, podemos pensar que $ B $ é formado por $ A $ mais algum outro evento, que a gente pode chamar de $ C $. Então, $ B = A \cup C $, e $ A $ e $ C $ não têm interseção (não compartilham elementos).
Passo 5
Aplicando a propriedade da aditividade que falamos, temos:
Como $ P© $ é uma probabilidade, ele é maior ou igual a zero. Então:
Resposta
Portanto, se $ A \subset B $, então $ P(A) \leq P(B) $.