Um experimento consiste em lançar um par de dados (dado 1 e dado 2 ) e observar a face superior dos dois dados.
(g) Calcule P(A), P(B), P(C), P(A cup B), P(A cup C), P(B cup C) e P(A^c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar dois dados e observar as faces que aparecem. A gente precisa calcular as probabilidades dos eventos A, B, C, das uniões desses eventos e também a probabilidade do complemento de A. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral, eventos, união de eventos e complemento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o espaço amostral. Quando a gente lança dois dados, cada dado tem 6 faces, então o total de combinações possíveis é 6 times 6 = 36.

Passo 3

Agora, precisamos saber o que são os eventos A, B e C. Como o enunciado não definiu, vamos supor que:
  • Evento A: A soma das faces é 7.
  • Evento B: O primeiro dado mostra um número par.
  • Evento C: O segundo dado mostra um número maior que 4.

Passo 4

Vamos calcular P(A). A soma das faces ser 7 pode acontecer nas seguintes combinações: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). São 6 possibilidades.
Então, P(A) = 636 = 16.

Passo 5

Agora, P(B). O primeiro dado ser par significa que ele mostra 2, 4 ou 6. Para cada um desses números, o segundo dado pode ser qualquer um dos 6 números. São 3 times 6 = 18 possibilidades.
Então, P(B) = 1836 = 12.

Passo 6

Vamos para P(C). O segundo dado mostrar um número maior que 4 significa que ele mostra 5 ou 6. Para cada um desses números, o primeiro dado pode ser qualquer um dos 6 números. São 2 times 6 = 12 possibilidades.
Então, P(C) = 1236 = 13.

Passo 7

Agora, P(A cup B), que é a probabilidade de A ou B acontecer. Para isso, usamos a fórmula:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Primeiro, precisamos encontrar P(A cap B), que é a probabilidade de A e B acontecerem juntos. Olhando as combinações de A (soma 7) e B (primeiro dado par):
As combinações que satisfazem ambos são (2,5), (4,3), (6,1). São 3 possibilidades.
Então, P(A cap B) = 336 = 112.
Agora, P(A cup B) = 16 + 12 - 112 = 212 + 612 - 112 = 712.

Passo 8

Vamos calcular P(A cup C). Usamos a mesma fórmula:
P(A cup C) = P(A) + P(C) - P(A cap C)
Primeiro, P(A cap C) é a probabilidade de A e C acontecerem juntos. Combinações de A (soma 7) e C (segundo dado >4):
São (1,6), (2,5), (5,2), (6,1). Mas precisamos verificar quais dessas têm o segundo dado >4: (1,6), (2,5). São 2 possibilidades.
Então, P(A cap C) = 236 = 118.
Agora, P(A cup C) = 16 + 13 - 118 = 318 + 618 - 118 = 818 = 49.

Passo 9

Agora, P(B cup C):
P(B cup C) = P(B) + P(C) - P(B cap C)
Primeiro, P(B cap C) é a probabilidade de B e C acontecerem juntos. Combinações onde o primeiro dado é par (2,4,6) e o segundo dado >4 (5,6):
São (2,5), (2,6), (4,5), (4,6), (6,5), (6,6). Total de 6 possibilidades.
Então, P(B cap C) = 636 = 16.
Agora, P(B cup C) = 12 + 13 - 16 = 36 + 26 - 16 = 46 = 23.

Passo 10

Por fim, P(A^c), que é a probabilidade do complemento de A. Isso significa a probabilidade de A não acontecer.
Sabemos que P(A) = 16, então:
P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 16 = 56

Resposta

As probabilidades são:
P(A) = 16
P(B) = 12
P(C) = 13
P(A cup B) = 712
P(A cup C) = 49
P(B cup C) = 23
P(A^c) = 56

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