Usando as propriedades axiomáticas mostre que:
(a) P(A^c)=1-P(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para mostrar que a probabilidade do complemento de um evento $ A $, que é $ P\left(A^{c}\right) $, é igual a $ 1 - P(A) $. Isso está relacionado com as propriedades básicas da probabilidade, também conhecidas como axiomas. Vamos usar essas propriedades para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: o espaço amostral $ S $, que representa todos os resultados possíveis de um experimento, tem probabilidade igual a 1, ou seja, $ P(S) = 1 $.
Além disso, para qualquer evento $ A $, o complemento $ A^{c} $ representa todos os resultados que não estão em $ A $. Como $ A $ e $ A^{c} $ são eventos que não podem acontecer ao mesmo tempo (são mutuamente exclusivos) e juntos cobrem todo o espaço amostral, a probabilidade de $ A $ mais a probabilidade de $ A^{c} $ deve ser igual a 1. Matematicamente, isso fica:
S

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar $ P\left(A^{c}\right) $. A gente pode isolar $ P\left(A^{c}\right) $ na equação acima:
P(A^c)

Resposta

Portanto, mostramos que $ P\left(A^{c}\right) = 1 - P(A) $.

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