Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
f(x)=4 x^5-x^4-3 x^2-2, em a=1.

Passo 1

Vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Temos a função f(x) = 4x^5 - x^4 - 3x^2 - 2 e precisamos calcular a derivada dessa função no ponto a = 1. O conteúdo que estamos usando aqui é o de derivadas, que é uma parte fundamental do cálculo. Para calcular a derivada usando a definição, vamos precisar da fórmula da derivada, que é:
f'(a) = limh to 0 f(a+h) - f(a)h

Passo 2

Agora vamos aplicar essa fórmula. Primeiro, vamos encontrar f(1):
f(1) = 4(1)^5 - (1)^4 - 3(1)^2 - 2
= 4 - 1 - 3 - 2
= -2
Então, f(1) = -2. Agora, precisamos calcular f(1+h):
f(1+h) = 4(1+h)^5 - (1+h)^4 - 3(1+h)^2 - 2
Precisamos expandir isso. Vamos fazer isso termo a termo.
Primeiro, vamos calcular (1+h)^5 e (1+h)^4 e (1+h)^2 usando a Binomial:
(1+h)^2 = 1 + 2h + h^2
(1+h)^4 = 1 + 4h + 6h^2 + 4h^3 + h^4
(1+h)^5 = 1 + 5h + 10h^2 + 10h^3 + 5h^4 + h^5
Agora, substituindo esses no f(1+h):
f(1+h) = 4(1 + 5h + 10h^2 + 10h^3 + 5h^4 + h^5) - (1 + 4h + 6h^2 + 4h^3 + h^4) - 3(1 + 2h + h^2) - 2
Agora, vamos simplificar isso:
= 4 + 20h + 40h^2 + 40h^3 + 20h^4 + 4h^5 - (1 + 4h + 6h^2 + 4h^3 + h^4) - (3 + 6h + 3h^2) - 2
= 4 + 20h + 40h^2 + 40h^3 + 20h^4 + 4h^5 - 1 - 4h - 6h^2 - 4h^3 - h^4 - 3 - 6h - 3h^2 - 2
= (4 - 1 - 3 - 2) + (20h - 4h - 6h) + (40h^2 - 6h^2 - 3h^2) + (40h^3 - 4h^3) + (20h^4 - h^4) + 4h^5
Então, agrupando constantemente os termos semelhantes, obtemos:
= -2 + 10h + 31h^2 + 36h^3 + 19h^4 + 4h^5

Passo 3

Agora, vamos voltar à fórmula da derivada. A derivada no ponto a = 1 será:
f'(1) = limh to 0 f(1+h) - f(1)h
Substituindo os valores que encontramos:
f'(1) = limh to 0 (-2 + 10h + 31h^2 + 36h^3 + 19h^4 + 4h^5) - (-2)h
= limh to 0 10h + 31h^2 + 36h^3 + 19h^4 + 4h^5h
Ao simplificar, podemos dividir todos os termos por h:
= limh to 0 (10 + 31h + 36h^2 + 19h^3 + 4h^4)
Agora, quando h tende a 0, todos os termos que têm h vão pra 0, então:
= 10

Resposta

A derivada da função f(x) no ponto a = 1 é 10.

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