Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a derivada da função
no ponto
. O conteúdo que estamos utilizando aqui é o cálculo de derivadas, que basicamente nos ajuda a entender como uma função muda em relação a mudanças em sua variável. Para resolver isso, vamos precisar da definição de derivada que é dada por:
Aqui,
é uma pequena variação que estamos fazendo em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
porque precisamos desse valor para aplicar a definição da derivada. Substituindo
por
na função:
Calculando isso, temos:
Então,
.
Passo 3
Agora precisamos substituir na nossa fórmula da derivada. A próxima parte é calcular
. Vamos fazer isso:
Expandindo isso, ficamos com:
Agora simplificando:
Passo 4
Agora substituímos esses valores na definição da derivada:
Simplificando a fração:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
Portanto, a derivada de
no ponto
é
.
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