Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral2^5(t^3-2 t+3) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente com a definição de integral segundo o Teorema 4. Para isso, vamos utilizar as propriedades das integrais de funções polinomiais e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar o valor final da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar um polinômio como integral t^n dt = t^n+1n+1 + C , podemos integrar cada termo separadamente. A integral de é dada por:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra a cada termo da função dentro da integral:

Passo 4

Somando as integrais dos termos, temos:
integral (t^3 - 2t + 3) dt = t^44 - t^2 + 3t + C

Passo 5

Como a integral é definida de 2 a 5, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrair:
[t^44 - t^2 + 3t]2^5 = (5^44 - 5^2 + 3 cdot 5) - (2^44 - 2^2 + 3 cdot 2)

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
Para 5^44 = 6254 = 156,25 :
5^2 = 25
3 cdot 5 = 15
156,25 - 25 + 15 = 146,25
Então:
2^44 = 164 = 4
Para 2^2 = 4 :
3 cdot 2 = 6
4 - 4 + 6 = 6
Então:

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:
146,25 - 6 = 140,25

Resposta

A integral é igual a 140,25.

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