Use uma fórmula de recorrência adequada para calcular cada uma das integrais abaixo
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a integral de
usando uma fórmula de recorrência. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente das técnicas de integração por partes e recorrência. Para resolver isso, vamos precisar entender como criar uma relação que liga a integral de
com a de uma potência menor, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa integral como
. A ideia é encontrar uma relação entre
e
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes onde escolhemos:
Então, precisamos encontrar
e
:
- Derivando
: - Integrando
:
Passo 4
A fórmula da integração por partes é
. Aplicando isso, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda integral. Sabemos que
. Substituindo:
Distribuindo dentro da integral:
Perceba que
é o próprio
. Então:
Passo 6
Vamos isolar
:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora que temos a fórmula de recorrência, vamos aplicá-la para
:
Sabemos que
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Ou ainda:
Resposta
A integral de
é: