Use uma fórmula de recorrência adequada para calcular cada uma das integrais abaixo integral cos ^3(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a integral de cos^3(x) , dx usando uma fórmula de recorrência. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente das técnicas de integração por partes e recorrência. Para resolver isso, vamos precisar entender como criar uma relação que liga a integral de cos^n(x) com a de uma potência menor, como cos^n-2(x).

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa integral como In = integral cos^n(x) , dx. A ideia é encontrar uma relação entre In e In-2. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes onde escolhemos:
  • u = cos^n-1(x)
  • dv = cos(x) , dx
Então, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u: du = -(n-1)cos^n-2(x)sin(x) , dx
  • Integrando dv: v = sin(x)

Passo 4

A fórmula da integração por partes é integral u , dv = uv - integral v , du. Aplicando isso, temos:
In = cos^n-1(x)sin(x) - integral sin(x) ( - (n-1)cos^n-2(x)sin(x) ) , dx
Simplificando:
In = cos^n-1(x)sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x)sin^2(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda integral. Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Substituindo:
In = cos^n-1(x)sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x)(1 - cos^2(x)) , dx
Distribuindo dentro da integral:
In = cos^n-1(x)sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) , dx - (n-1) integral cos^n(x) , dx
Perceba que integral cos^n(x) , dx é o próprio In. Então:
In = cos^n-1(x)sin(x) + (n-1)In-2 - (n-1)In

Passo 6

Vamos isolar In:
In + (n-1)In = cos^n-1(x)sin(x) + (n-1)In-2
Fatorando In:
nIn = cos^n-1(x)sin(x) + (n-1)In-2
Dividindo ambos os lados por n:
In = 1n cos^n-1(x)sin(x) + n-1n In-2

Passo 7

Agora que temos a fórmula de recorrência, vamos aplicá-la para n = 3:
I3 = 13 cos^2(x)sin(x) + 23 I1
Sabemos que I1 = integral cos(x) , dx = sin(x) + C

Passo 8

Substituindo I1 na expressão de I3:
I3 = 13 cos^2(x)sin(x) + 23 sin(x) + C
Podemos fatorar sin(x):
I3 = sin(x) ( 13 cos^2(x) + 23 ) + C
Ou ainda:
I3 = sin(x)3 ( cos^2(x) + 2 ) + C

Resposta

A integral de cos^3(x) , dx é:
integral cos^3(x) , dx = 13 cos^2(x)sin(x) + 23 sin(x) + C

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