Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:
Circunferência de centro em (2, 2) e raio 2 no sentido anti-horário

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma equação vetorial de uma circunferência que tem centro no ponto (2, 2) e raio , percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma circunferência no plano pode ser descrita parametrizadamente usando as funções trigonométricas seno e cosseno. A equação vetorial geral de uma circunferência com centro em e raio r é dada por:
onde t é o parâmetro que varia, geralmente de 0 a para percorrer a circunferência completa.

Passo 3

No nosso caso, o centro da circunferência é (2, 2), então e , e o raio r é . Substituindo esses valores na equação geral, temos:
Isso nos dá a posição vetorial de qualquer ponto na circunferência em função do parâmetro t.

Passo 4

Como o sentido é anti-horário, não precisamos fazer nenhuma modificação adicional na equação, pois o aumento de t de 0 a naturalmente descreve o percurso anti-horário ao redor da circunferência.

Resposta

A equação vetorial da circunferência é:

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