Use o R para gerar amostras aleatórias de tamanhos 10 , 100 e 10000 de uma população com distribuição normal com média mu=5.2 e desvio padrão sigma=1.3 e complete a tabela seguinte. O que observa?
tamanho da amostra barx |barx-mu|
10
100
10000
|
3
O crescimento decorrido num período de 15 dias para uma população de girassóis segue uma distribuição normal com média 3.18 cm e desvio padrão 0.53 cm .
(a) Determine a probabilidade de que uma dessas plantas cresça mais do que 3 cm em 15 dias (apresente o resultado com 2 casas decimais).
(b) Seja P a proporção de plantas com crescimento superior a 3 cm em 15 dias numa amostra aleatória de 50 girassóis.
i. Indique a distribuição aproximada de P.
ii. Qual a probabilidade aproximada de que pelo menos metade dos girassóis numa amostra aleatória de 50 girassóis tenha um crescimento superior a 3 cm em 15 dias?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre probabilidade envolvendo o crescimento de girassóis. A matéria principal aqui é Distribuição Normal e vamos precisar usar conceitos de média, desvio padrão e a tabela da distribuição normal padrão (Z). Vamos calcular a probabilidade de crescimento de girassóis e trabalhar com proporções em amostras.

Passo 2

Parte (a): Queremos encontrar a probabilidade de que um girassol cresça mais do que 3 cm em 15 dias. Sabemos que o crescimento segue uma distribuição normal com média mu = 3.18 cm e desvio padrão sigma = 0.53 cm.
Primeiro, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore Z:
Z = X - musigma
Aqui, X = 3 cm.

Passo 3

Calculando o valor de Z:
Z = 3 - 3.180.53 = -0.180.53 approx -0.3396

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de X > 3, que corresponde a P(Z > -0.3396). Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos:
P(Z > -0.3396) = 1 - P(Z < -0.3396) approx 1 - 0.3669 = 0.6331
Então, a probabilidade é aproximadamente 0.63 ou 63%.

Passo 5

Parte (b)(i): Seja P a proporção de plantas com crescimento superior a 3 cm em uma amostra de 50 girassóis. Queremos indicar a distribuição aproximada de P.
Como estamos lidando com proporções e temos uma amostra grande (n = 50), podemos usar a Distribuição Normal para aproximar P, seguindo o teorema central do limite.
A média de P será a probabilidade encontrada na parte (a), que é 0.63, e o desvio padrão será:
sigmaP = raizP(1 - P)n = raiz0.63 times 0.3750 approx 0.068
Portanto, P segue aproximadamente uma distribuição normal com média 0.63 e desvio padrão 0.068.

Passo 6

Parte (b)(ii): Queremos a probabilidade de que pelo menos metade dos 50 girassóis cresça mais de 3 cm, ou seja, P(P >= 0.5).
Primeiro, padronizamos o valor usando a distribuição normal:
Z = 0.5 - 0.630.068 approx -0.130.068 approx -1.9118

Passo 7

Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora:
P(Z >= -1.9118) = 1 - P(Z < -1.9118) approx 1 - 0.0277 = 0.9723
Então, a probabilidade é aproximadamente 0.97 ou 97%.

Resposta

(a) A probabilidade de um girassol crescer mais de 3 cm em 15 dias é aproximadamente 63%.
(b)(i) A distribuição aproximada de P é uma distribuição normal com média 0.63 e desvio padrão 0.068.
(b)(ii) A probabilidade de que pelo menos metade dos 50 girassóis cresça mais de 3 cm em 15 dias é aproximadamente 97%.

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