Use o
para gerar amostras aleatórias de tamanhos 10 , 100 e 10000 de uma população com distribuição normal com média
e desvio padrão
e complete a tabela seguinte. O que observa?
tamanho da amostra |
|
|
---|---|---|
10 | ||
100 | ||
10000 |
|
3
O crescimento decorrido num período de 15 dias para uma população de girassóis segue uma distribuição normal com média 3.18 cm e desvio padrão 0.53 cm .
(a) Determine a probabilidade de que uma dessas plantas cresça mais do que 3 cm em 15 dias (apresente o resultado com 2 casas decimais).
(b) Seja a proporção de plantas com crescimento superior a 3 cm em 15 dias numa amostra aleatória de 50 girassóis.
i. Indique a distribuição aproximada de .
ii. Qual a probabilidade aproximada de que pelo menos metade dos girassóis numa amostra aleatória de 50 girassóis tenha um crescimento superior a 3 cm em 15 dias?
3
O crescimento decorrido num período de 15 dias para uma população de girassóis segue uma distribuição normal com média 3.18 cm e desvio padrão 0.53 cm .
(a) Determine a probabilidade de que uma dessas plantas cresça mais do que 3 cm em 15 dias (apresente o resultado com 2 casas decimais).
(b) Seja
i. Indique a distribuição aproximada de
ii. Qual a probabilidade aproximada de que pelo menos metade dos girassóis numa amostra aleatória de 50 girassóis tenha um crescimento superior a 3 cm em 15 dias?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre probabilidade envolvendo o crescimento de girassóis. A matéria principal aqui é Distribuição Normal e vamos precisar usar conceitos de média, desvio padrão e a tabela da distribuição normal padrão (Z). Vamos calcular a probabilidade de crescimento de girassóis e trabalhar com proporções em amostras.
Passo 2
Parte (a): Queremos encontrar a probabilidade de que um girassol cresça mais do que 3 cm em 15 dias. Sabemos que o crescimento segue uma distribuição normal com média
cm e desvio padrão
cm.
Primeiro, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore Z:
Aqui,
cm.
Passo 3
Calculando o valor de Z:
Passo 4
Agora, queremos a probabilidade de
, que corresponde a
. Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos:
Então, a probabilidade é aproximadamente 0.63 ou 63%.
Passo 5
Parte (b)(i): Seja
a proporção de plantas com crescimento superior a 3 cm em uma amostra de 50 girassóis. Queremos indicar a distribuição aproximada de
.
Como estamos lidando com proporções e temos uma amostra grande (n = 50), podemos usar a Distribuição Normal para aproximar
, seguindo o teorema central do limite.
A média de
será a probabilidade encontrada na parte (a), que é 0.63, e o desvio padrão será:
Portanto,
segue aproximadamente uma distribuição normal com média 0.63 e desvio padrão 0.068.
Passo 6
Parte (b)(ii): Queremos a probabilidade de que pelo menos metade dos 50 girassóis cresça mais de 3 cm, ou seja,
.
Primeiro, padronizamos o valor usando a distribuição normal:
Passo 7
Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora:
Então, a probabilidade é aproximadamente 0.97 ou 97%.
Resposta
(a) A probabilidade de um girassol crescer mais de 3 cm em 15 dias é aproximadamente 63%.
(b)(i) A distribuição aproximada de
é uma distribuição normal com média 0.63 e desvio padrão 0.068.
(b)(ii) A probabilidade de que pelo menos metade dos 50 girassóis cresça mais de 3 cm em 15 dias é aproximadamente 97%.