Uma equipa de investigação julga que
de uma certa população sofre de diabetes. Para testar esta teoria irão selecionar aleatoriamente 200 indivíduos dessa população.
(a) Assumindo que a fração da população que sofre de diabetes é realmente
, quais os valores da média e desvio padrão da variável aleatória
representativa da proporção amostral relativa às pessoas que sofrem de diabetes em amostras de tamanho 200?
(a) Assumindo que a fração da população que sofre de diabetes é realmente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma equipe que acredita que
da população tem diabetes. Eles vão tirar uma amostra aleatória de 200 pessoas dessa população. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a média e o desvio padrão da proporção de pessoas com diabetes nessa amostra, assumindo que realmente
da população sofre de diabetes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre proporções e distribuições amostrais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a média da variável aleatória
. A média da proporção amostral é igual à proporção da população. Ou seja, se
é a proporção da população que tem diabetes, então a média da proporção amostral também é
.
Matematicamente:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da variável
. O desvio padrão da proporção amostral é dado pela fórmula:
Aqui,
é a proporção da população com diabetes, e
é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
Calculando o valor:
Resposta
A média da proporção amostral
é
e o desvio padrão é aproximadamente
.