Uma equipa de investigação julga que 20 % de uma certa população sofre de diabetes. Para testar esta teoria irão selecionar aleatoriamente 200 indivíduos dessa população.
(a) Assumindo que a fração da população que sofre de diabetes é realmente 20 %, quais os valores da média e desvio padrão da variável aleatória P representativa da proporção amostral relativa às pessoas que sofrem de diabetes em amostras de tamanho 200?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma equipe que acredita que 20% da população tem diabetes. Eles vão tirar uma amostra aleatória de 200 pessoas dessa população. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a média e o desvio padrão da proporção de pessoas com diabetes nessa amostra, assumindo que realmente 20% da população sofre de diabetes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre proporções e distribuições amostrais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a média da variável aleatória P. A média da proporção amostral é igual à proporção da população. Ou seja, se p é a proporção da população que tem diabetes, então a média da proporção amostral também é p.
Matematicamente:
muP = p
No nosso caso, p = 0.20, então:
muP = 0.20

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da variável P. O desvio padrão da proporção amostral é dado pela fórmula:
sigmaP = raizp(1 - p)n
Aqui, p é a proporção da população com diabetes, e n é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
sigmaP = raiz0.20 times (1 - 0.20)200 = raiz0.20 times 0.80200 = raiz0.16200
Calculando o valor:
sigmaP = raiz0.0008 approx 0.02828

Resposta

A média da proporção amostral P é 0.20 e o desvio padrão é aproximadamente 0.02828.

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