Use o método de variação dos parâmetros para resolver o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de depende dela mesma e de uma função do tempo. Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender as soluções da parte homogênea e depois achar uma solução particular que leva em conta o termo que está dependente do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, onde . Para isso, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz . Esses valores nos ajudam a entender como as soluções se comportam ao longo do tempo.
Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método de variação dos parâmetros. Primeiro, precisamos montar a matriz fundamental Phi(t) = 1 & e^2t & 0 -1 & e^2t & 0 0 & 0 & e^3t com as soluções da parte homogênea:
Em seguida, calculamos a matriz inversa.
Passo 7
A solução particular é dada por:
Xp(t) = Phi(t) integral Phi^-1(t) F(t) , dt
Onde e^t e^2t te^3t. Calculando essa integral, encontramos a solução particular.