Use o método de variação dos parâmetros para resolver o sistema.
X^prime=(lll1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3) X+(ce^t e^2 t t e^3 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de depende dela mesma e de uma função do tempo. Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender as soluções da parte homogênea e depois achar uma solução particular que leva em conta o termo que está dependente do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, onde . Para isso, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz . Esses valores nos ajudam a entender como as soluções se comportam ao longo do tempo.

Passo 3

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = |ccc 1 - lambda & 1 & 0 1 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 3 - lambda | = (1 - lambda)^2 - 1) cdot (3 - lambda) = lambda(lambda - 2)(3 - lambda) , onde é a matriz identidade:
Assim, os autovalores são , e .

Passo 4

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os vetores próprios ( [ccc 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3 ] v = 0 Rightarrow v1 = -v2, v3 = 0 ) resolvendo 1 -1 0.
  • Para [ccc -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 ] v = 0 Rightarrow v1 = v2, v3 = 0 :
1 1 0
Então, um vetor próprio é [ccc -2 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 ] v = 0 Rightarrow v1 = v2, v3 livre .
  • Para 0 0 1:
Então, um vetor próprio é .
  • Para :
Então, um vetor próprio é .

Passo 5

Com os autovalores e vetores próprios em mãos, a solução geral da parte homogênea é uma combinação das soluções associadas a cada autovalor:
Xh(t) = c1 e^0t 1 -1 0 + c2 e^2t 1 1 0 + c3 e^3t 0 0 1
Simplificando:
Xh(t) = c1 1 -1 0 + c2 e^2t 1 1 0 + c3 e^3t 0 0 1

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método de variação dos parâmetros. Primeiro, precisamos montar a matriz fundamental Phi(t) = 1 & e^2t & 0 -1 & e^2t & 0 0 & 0 & e^3t com as soluções da parte homogênea:
Em seguida, calculamos a matriz inversa .

Passo 7

A solução particular é dada por:
Xp(t) = Phi(t) integral Phi^-1(t) F(t) , dt
Onde e^t e^2t te^3t. Calculando essa integral, encontramos a solução particular.

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = c1 1 -1 0 + c2 e^2t 1 1 0 + c3 e^3t 0 0 1 + -12 e^t 12 e^t t e^3t
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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