Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares com uma condição inicial. Vamos usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores para encontrar a solução. Precisaremos calcular os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução geral usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos resolver o determinante da matriz A - lambda I = 1 - lambda & -12 & -14 1 & 2 - lambda & -3 1 & 1 & -2 - lambda igual a zero:
Simplificando, encontramos que o autovetor correspondente é .
Para e :
Como os autovalores são complexos, os autovetores serão também complexos. Porém, para mantermos a solução em termos reais, usaremos funções trigonométricas. Vamos considerar um autovetor correspondente a .
Passo 4
A solução geral do sistema será uma combinação das soluções associadas a cada autovalor: