Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação
sen(x) = 2x - 1
tem uma solução no intervalo (0, pi/2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo . Esse teorema é usado quando temos uma função contínua em um intervalo e queremos garantir que ela atinja todos os valores entre os valores que tem nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação do TVI. Vamos definir uma nova função:
Então, queremos mostrar que existe um no intervalo tal que .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . Sabemos que e são funções contínuas em todo o seu domínio, e a diferença de funções contínuas também é contínua. Portanto, é contínua nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular o valor de nas extremidades do intervalo:
  • Para :
  • Para :
Sabemos que é aproximadamente 3,14, então é negativo.

Passo 5

Observamos que:
Isso significa que a função muda de positivo para negativo no intervalo .

Passo 6

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em um intervalo, então existe pelo menos um ponto nesse intervalo onde a função é igual a zero.

Passo 7

Portanto, existe pelo menos um em tal que , ou seja, .

Resposta

A equação tem pelo menos uma solução no intervalo .

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p(x) = tan(x) + x + 1
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