Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação
tem uma solução no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
. Esse teorema é usado quando temos uma função contínua em um intervalo e queremos garantir que ela atinja todos os valores entre os valores que tem nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação do TVI. Vamos definir uma nova função:
Então, queremos mostrar que existe um
no intervalo
tal que
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. Sabemos que
e
são funções contínuas em todo o seu domínio, e a diferença de funções contínuas também é contínua. Portanto,
é contínua nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular o valor de
nas extremidades do intervalo:
-
Para
: -
Para
:
Sabemos que
é aproximadamente 3,14, então
é negativo.
Passo 5
Observamos que:
Isso significa que a função
muda de positivo para negativo no intervalo
.
Passo 6
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em um intervalo, então existe pelo menos um ponto nesse intervalo onde a função é igual a zero.
Passo 7
Portanto, existe pelo menos um
em
tal que
, ou seja,
.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Exercícios relacionados
Mostre que existe ao menos uma raíz de
no intervalo
.
Encontre a assíntota horizontal de
quando
.
Calcule cada uma das integrais abaixo.
Calcule cada uma das integrais abaixo.