Mostre que existe ao menos uma raíz de
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Isso envolve entender um pouco de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário. Vamos precisar verificar os valores da função nas extremidades do intervalo e ver se a função muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os valores de
nos limites do intervalo. Vamos calcular
e
.
Para
:
Sabemos que
, então:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Observamos que:
Ou seja, a função
passa de negativo para positivo ao passar de
para
.
Passo 5
Como
é contínua no intervalo
(a função tangente é contínua nesse intervalo) e muda de sinal de negativo para positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor
em
tal que
.
Resposta
Existe ao menos uma raiz de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Encontre a assíntota horizontal de
quando
.
Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação
tem uma solução no intervalo
.
Calcule cada uma das integrais abaixo.