Mostre que existe ao menos uma raíz de
p(x) = tan(x) + x + 1
no intervalo (-pi / 2, pi / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo . Isso envolve entender um pouco de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário. Vamos precisar verificar os valores da função nas extremidades do intervalo e ver se a função muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os valores de nos limites do intervalo. Vamos calcular e .
Para :
Sabemos que , então:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Sabemos que , então:

Passo 4

Observamos que:
Ou seja, a função passa de negativo para positivo ao passar de para .

Passo 5

Como é contínua no intervalo (a função tangente é contínua nesse intervalo) e muda de sinal de negativo para positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor em tal que .

Resposta

Existe ao menos uma raiz de no intervalo .

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Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação
sen(x) = 2x - 1
tem uma solução no intervalo (0, pi/2).
Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral sen^6(x) cos ^3(x) d x