Use os teoremas para encontrar a derivada da seguinte função f(x)=cotg(x). Assinale a alternativa que apresenta a resposta correta. Escolha uma opção:
a. -sen(x)
b. -cosec²(x)
c. 4x³ - 6x + 10
d. cos(x)
e. tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função $ f(x) = \cot(x) $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Precisamos lembrar das regras básicas de derivação e das fórmulas para derivar funções trigonométricas como a cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável $ x $. Basicamente, ela nos diz como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos focar na função $ \cot(x) $. A cotangente é uma função trigonométrica que é igual a $ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $. Mas para facilitar a derivação, vamos usar a regra que já sabemos para derivar $ \cot(x) $.

Passo 4

A regra para derivar $ \cot(x) $ é a seguinte:
cot(x)
Aqui, $ \csc(x) $ é a função cosecante, que é o inverso do seno, ou seja, $ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} $.

Passo 5

Então, aplicando essa regra, a derivada de $ f(x) = \cot(x) $ é:
f(x) = cot(x)
Isso significa que a taxa de variação da cotangente é igual a menos o quadrado da cosecante de $ x $.

Resposta

A derivada correta é b. -cosec²(x).

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