Utilizando integração por partes, escreva quem é
e
e
em cada item. Em seguida, resolva a integral.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é do tipo produto de duas funções, como aqui. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão
e
, e também suas derivadas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual função será
e qual será
. Uma boa estratégia é deixar
ser aquela que, quando derivada, simplifica a integral.
Aqui, vamos deixar:
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Derivando
, temos - Integrando
, temos
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar integração por partes de novo nessa integral.
Escolhemos:
Calculando novamente:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, substituímos essa última expressão na nossa equação anterior:
Vamos chamar a integral original de
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A integral
é igual a: