Utilizando integração por partes, escreva quem é f(x) e g(x), f^prime(x) e g^prime(x) em cada item. Em seguida, resolva a integral.
(d) integral e^x cdot sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é do tipo produto de duas funções, como aqui. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão e , e também suas derivadas e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual função será e qual será . Uma boa estratégia é deixar ser aquela que, quando derivada, simplifica a integral.
Aqui, vamos deixar:
Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando , temos
  • Integrando , temos

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral f(x) cdot g'(x) , dx = f(x) cdot g(x) - integral f'(x) cdot g(x) , dx
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^x cdot sin(x) , dx = e^x cdot (-cos(x)) - integral e^x cdot (-cos(x)) , dx
= -e^xcos(x) + integral e^xcos(x) , dx

Passo 4

Agora, temos uma nova integral: integral e^xcos(x) , dx = e^xsin(x) - integral e^xsin(x) , dx . Vamos aplicar integração por partes de novo nessa integral.
Escolhemos:
Calculando novamente:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, substituímos essa última expressão na nossa equação anterior:
integral e^xsin(x) , dx = -e^xcos(x) + ( e^xsin(x) - integral e^xsin(x) , dx )
= -e^xcos(x) + e^xsin(x) - integral e^xsin(x) , dx
Vamos chamar a integral original de I = -e^xcos(x) + e^xsin(x) - I :

Passo 6

Agora, vamos resolver para I + I = -e^xcos(x) + e^xsin(x) :
2I = e^x(sin(x) - cos(x))
I = 12e^x(sin(x) - cos(x)) + C

Resposta

A integral 12e^x ( sin(x) - cos(x) ) + C é igual a:

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