Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
17) sum1^infty 13 n-1(x3+23)^n

Passo 1

Vamos resolver o exercício 17, onde precisamos determinar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty 13n - 1(x3 + 23)^n
Matéria envolvida: Séries de Potências e Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
O que precisamos: Aplicar o Teste da Razão para descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série:
an = 13n - 1(x3 + 23)^n
Teoria aplicada: O Teste da Razão é usado para determinar o raio de convergência de uma série de potências. Ele envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = 13(n+1) - 1(x3 + 23)^n+113n - 1(x3 + 23)^n :
Simplificando:
an+1an = 3n - 13n + 2 (x3 + 23)

Passo 4

Agora, calculamos o limite L = limn to infty | 3n - 13n + 2 (x3 + 23) | :
L = limn to infty | 3 - 1n3 + 2n (x3 + 23) | = | 33 (x3 + 23) | = | x3 + 23 |
Para simplificar o limite, dividimos numerador e denominador por :

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que | x3 + 23 | < 1 :
Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 6

Primeiro, multiplicamos todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
|x + 2| < 3
Isso significa que a distância entre e deve ser menor que 3.

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
-3 < x + 2 < 3
Subtraímos 2 de todas as partes:
-5 < x < 1

Passo 8

Portanto, o intervalo de convergência da série é:
-5 < x < 1

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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