Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
17)
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Passo 1
Vamos resolver o exercício 17, onde precisamos determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Matéria envolvida: Séries de Potências e Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
O que precisamos: Aplicar o Teste da Razão para descobrir para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série:
Teoria aplicada: O Teste da Razão é usado para determinar o raio de convergência de uma série de potências. Ele envolve calcular o limite:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular
an+1an = 13(n+1) - 1(x3 + 23)^n+113n - 1(x3 + 23)^n :
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos o limite
L = limn to infty | 3n - 13n + 2 (x3 + 23) | :
Para simplificar o limite, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que
| x3 + 23 | < 1 :
Vamos resolver essa desigualdade.
Passo 6
Primeiro, multiplicamos todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Isso significa que a distância entre
e
deve ser menor que 3.
Passo 7
Resolvendo a desigualdade:
Subtraímos 2 de todas as partes:
Passo 8
Portanto, o intervalo de convergência da série é:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.