Utilizando o procedimento visto em aula, gere a próxima permutação em ordem lexicográfica depois de 7362541, sobre o conjunto
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a próxima permutação em ordem lexicográfica depois de 7362541, usando os números do conjunto $ S = {1,2,3,4,5,6,7} $. Para isso, vamos precisar entender o que é permutação lexicográfica e seguir um procedimento passo a passo para descobrir qual vem depois de 7362541.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ordem lexicográfica. Imagine que estamos organizando palavras no dicionário: “casa” vem antes de “casaína”. Da mesma forma, uma permutação em ordem lexicográfica é aquela que vem antes da outra se compararmos cada dígito da esquerda para a direita.
Passo 3
O procedimento para encontrar a próxima permutação é o seguinte:
- Identificar o “pivô”: Encontre o primeiro dígito da direita que é menor que o dígito imediatamente à sua direita.
- Encontrar o sucessor do pivô: Entre os dígitos à direita do pivô, encontre o menor dígito que seja maior que o pivô.
- Trocar o pivô pelo sucessor.
- Reverter a ordem dos dígitos à direita do pivô: Isso garante que a nova permutação seja a menor possível depois da troca.
Passo 4
Vamos aplicar esse procedimento à permutação 7362541:
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Identificar o pivô:
- Começamos da direita: 4 e 1. 4 > 1, então olhamos para 5 e 4. 5 > 4, continuamos para 2 e 5. 2 < 5, então o pivô é 2, na posição 4.
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Encontrar o sucessor do pivô:
- Olhando para os dígitos à direita de 2 (que são 5, 4, 1), o menor dígito maior que 2 é 4.
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Trocar o pivô pelo sucessor:
- Troca o 2 por 4: A sequência fica 7362541 → 7364541.
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Reverter a ordem dos dígitos à direita do pivô:
- Após a troca, os dígitos à direita do pivô (após a posição onde estava o 2) são 5, 2, 1. Revertendo: 1, 2, 5.
Passo 5
Agora, juntando tudo:
- Após a troca: 7364541
- Após reverter os dígitos à direita: 7364125
Resposta
A próxima permutação em ordem lexicográfica depois de 7362541 é 7364125.