Utilizando o procedimento visto em aula, gere a próxima permutação em ordem lexicográfica depois de 7362541, sobre o conjunto S=1,2,3,4,5,6,7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a próxima permutação em ordem lexicográfica depois de 7362541, usando os números do conjunto $ S = {1,2,3,4,5,6,7} $. Para isso, vamos precisar entender o que é permutação lexicográfica e seguir um procedimento passo a passo para descobrir qual vem depois de 7362541.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ordem lexicográfica. Imagine que estamos organizando palavras no dicionário: “casa” vem antes de “casaína”. Da mesma forma, uma permutação em ordem lexicográfica é aquela que vem antes da outra se compararmos cada dígito da esquerda para a direita.

Passo 3

O procedimento para encontrar a próxima permutação é o seguinte:
  1. Identificar o “pivô”: Encontre o primeiro dígito da direita que é menor que o dígito imediatamente à sua direita.
  2. Encontrar o sucessor do pivô: Entre os dígitos à direita do pivô, encontre o menor dígito que seja maior que o pivô.
  3. Trocar o pivô pelo sucessor.
  4. Reverter a ordem dos dígitos à direita do pivô: Isso garante que a nova permutação seja a menor possível depois da troca.

Passo 4

Vamos aplicar esse procedimento à permutação 7362541:
  1. Identificar o pivô:
    • Começamos da direita: 4 e 1. 4 > 1, então olhamos para 5 e 4. 5 > 4, continuamos para 2 e 5. 2 < 5, então o pivô é 2, na posição 4.
  2. Encontrar o sucessor do pivô:
    • Olhando para os dígitos à direita de 2 (que são 5, 4, 1), o menor dígito maior que 2 é 4.
  3. Trocar o pivô pelo sucessor:
    • Troca o 2 por 4: A sequência fica 7362541 → 7364541.
  4. Reverter a ordem dos dígitos à direita do pivô:
    • Após a troca, os dígitos à direita do pivô (após a posição onde estava o 2) são 5, 2, 1. Revertendo: 1, 2, 5.

Passo 5

Agora, juntando tudo:
  • Após a troca: 7364541
  • Após reverter os dígitos à direita: 7364125

Resposta

A próxima permutação em ordem lexicográfica depois de 7362541 é 7364125.

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