Utilizando o Python, determine qual é a derivada primeira da função f(x)=18x4-14x2+22x-1.
A f’(x)=18x3-14x+22
B f’(x)=36x3-28x+22
C f’(x)=72x4-28x2+22
D f’(x)=72x3-28x+22

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) = 18x^4 - 14x^2 + 22x - 1 $ e precisa descobrir a primeira derivada dessa função, ou seja, $ f’(x) $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, onde aprendemos a calcular derivadas de funções polinomiais. Para resolver, vamos usar a Regra do Poder, que ajuda a derivar termos como $ x^n $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Poder. Se você tem uma função do tipo $ f(x) = ax^n $, a derivada $ f’(x) $ será $ f’(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} $. Ou seja, multiplicamos o coeficiente $ a $ pelo expoente $ n $ e diminuímos o expoente em 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra a cada termo da função original:
  1. Primeiro termo: $ 18x^4 $
    • Aplicando a Regra do Poder: $ 18 \cdot 4 \cdot x^{4-1} = 72x^3 $
  2. Segundo termo: $ -14x^2 $
    • Aplicando a Regra do Poder: $ -14 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = -28x $
  3. Terceiro termo: $ 22x $
    • Aqui, $ x $ é o mesmo que $ x^1 $, então:
    • $ 22 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 22 \cdot 1 \cdot x^0 = 22 $ (já que $ x^0 = 1 $)
  4. Quarto termo: $ -1 $
    • A derivada de uma constante é zero, então a derivada de $ -1 $ é $ 0 $. Podemos ignorar esse termo na derivada.

Passo 4

Agora, juntando tudo que calculamos:
f'(x) = 72x^3 - 28x + 22

Resposta

A derivada primeira da função é $ f’(x) = 72x^3 - 28x + 22 $. Portanto, a resposta correta é a opção D.

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