Utilizando a Regra da Substituição, faça u=g(x), encontre d u=g^prime(x) d x, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável u e volte para a variável x.
(d) integral e^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra da Substituição. Essa regra é super útil quando a integral tem uma função dentro de outra função, tipo uma casadinha. Aqui, vamos precisar escolher uma função que simplifique a integral, e depois substituir tudo de volta no final.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = 5x de forma que facilite a integração. Olhando para a nossa integral , percebemos que o expoente é uma boa candidata para . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 5 Rightarrow du = 5 , dx em relação a dx = du5 , que é . Vamos calcular isso:
Queremos expressar em termos de , então isolando :

Passo 4

Vamos substituir integral e^5x , dx = integral e^u cdot du5 = 15 integral e^u , du e na nossa integral original:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: 15 integral e^u , du = 15 e^u + C . Sabemos que a integral de em relação a é . Então:

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original 15 e^u + C = 15 e^5x + C substituindo :

Resposta

integral e^5x , dx = 15 e^5x + C

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