Utilizando a Regra da Substituição, faça u=g(x), encontre d u=g^prime(x) d x, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável u e volte para a variável x.
(f) integral tg(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra da Substituição. O enunciado pede para integrar a função tangente de x, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como funciona a substituição em integrais e identificar qual parte da função vamos substituir para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para ser u = cos(x) . No caso da tangente, sabemos que , mas uma maneira mais direta é reconhecer que a derivada de é , que aparece na tangente. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = -sen(x) , dx , a derivada de -,du = sen(x) , dx em relação a multiplicada por :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando tg(x) = sen(x)cos(x) = sen(x)u e integral tg(x) , dx = integral sen(x)cos(x) , dx = integral -duu . Sabemos que:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, a integral em termos de integral -duu = -integral 1u , du ficou mais simples:
- ln|u| + C
Sabemos que , então:

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original - ln|cos(x)| + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de integral tg(x) , dx = -ln|cos(x)| + C em relação a é:

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